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Diagonalization
En la lección anterior encontramos autovectores: direcciones que no cambian bajo una transformación. Ahora viene el premio: si usamos esos autovectores como nueva base, la transformación se convierte en algo diagonal — solo escalados, sin mezcla.
Diagonalizar una matriz A es escribirla como A = PDP⁻¹, donde D es diagonal (solo números en la diagonal principal, ceros en el resto) y P es la matriz de autovectores. Es el cambio de base que simplifica todo al máximo.
¿Por qué diagonalizar? Porque las matrices diagonales son triviales. Multiplicar por una diagonal es solo escalar cada componente. Y calcular potencias: D¹⁰⁰ solo eleva cada elemento de la diagonal a la 100. Así, A¹⁰⁰ = PD¹⁰⁰P⁻¹ — sin multiplicar A por sí misma 100 veces.
Piensa en esto
Si A tiene autovalores λ₁ = 2 y λ₂ = 3, ¿cuánto es A¹⁰ aplicado al autovector v₁?
Av₁ = 2v₁. Entonces A²v₁ = A(Av₁) = A(2v₁) = 2Av₁ = 4v₁...
A¹⁰v₁ = 2¹⁰v₁ = 1024v₁. Cada aplicación de A multiplica por λ₁, así que n aplicaciones multiplican por λ₁ⁿ.
Pensá en la diagonalización como "girar la cabeza" para ver la transformación de la manera más simple posible.
Piensa en esto
¿Cuándo NO se puede diagonalizar una matriz 2×2?
¿Cuántos autovectores linealmente independientes necesitás?
Cuando no tiene 2 autovectores independientes. Eso puede pasar si: (1) tiene un autovalor repetido con un solo autovector, o (2) tiene autovalores complejos (como una rotación pura). Una rotación de 90° no tiene autovectores reales.
Se lee: 'A es igual a P D P inversa'
P es la matriz de autovectores (como columnas), D es la diagonal de autovalores. Es un cambio de base a la base de autovectores.
# En Python import numpy as np eigenvalues, P = np.linalg.eig(A) D = np.diag(eigenvalues) # A ≈ P @ D @ np.linalg.inv(P)
A = PDP⁻¹. Verificá multiplicando.
Teorema. Una matriz n×n es diagonalizable si y solo si tiene n autovectores linealmente independientes.
Esto pasa siempre si los n autovalores son todos distintos. Si hay autovalores repetidos, puede que no haya suficientes autovectores.
Si A = PDP⁻¹, entonces:
Teorema espectral. Si A = Aᵀ (simétrica), entonces:
Las matrices simétricas son las "mejores" — siempre se diagonalizan con una base ortonormal.
Piensa en esto
¿La matriz \\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 2 & 1 \\end{bmatrix} es simétrica? ¿Cuáles son sus autovalores?
Simétrica = A = Aᵀ. Para autovalores: det(A - λI) = (1-λ)² - 4 = 0.
Sí, es simétrica. det(A - λI) = λ² - 2λ - 3 = (λ-3)(λ+1) = 0. Autovalores: 3 y -1. Ambos reales (como predice el teorema).
¿Cuándo una matriz n×n es diagonalizable?
A tiene autovalores 2 y 5. ¿Cuánto es A³ aplicado al autovector de λ=2? Si v₁ es el autovector, el resultado es c·v₁. ¿Cuánto es c?
¿Cuál es la ventaja principal de la diagonalización?
Una rotación de 90° en ℝ², ¿es diagonalizable (sobre los reales)?
Si A es simétrica (A = Aᵀ), ¿qué garantiza el teorema espectral?