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Vectors that don't change direction
Cuando aplicas una transformación lineal, la mayoría de los vectores cambian de dirección. Pero algunos vectores especiales solo se escalan — su dirección no cambia. Estos son los autovectores.
Piensa en estirar una hoja de goma. La mayoría de los puntos se mueven en direcciones complicadas. Pero los puntos a lo largo de los ejes de estiramiento simplemente se alejan del centro (o se acercan). Esos ejes son las direcciones de los autovectores.
El factor por el que se escala un autovector se llama su autovalor. Si el autovalor es 2, el vector se duplica. Si es -1, se invierte. Si es 0, se aniquila.
Piensa en esto
En una reflexión sobre el eje x, ¿cuáles son los autovectores? ¿Y sus autovalores?
¿Qué vectores no cambian de dirección (o solo se invierten) al reflejar?
Los vectores horizontales (eje x) no cambian: autovalor = 1. Los verticales (eje y) se invierten: autovalor = -1. Estos son los dos autovectores.
La visualización muestra un vector "sonda" que rota alrededor del origen. La transformación se aplica continuamente. Cuando el vector de entrada y el de salida se alinean, ¡encontraste un autovector!
Desafíos: La visualización te pide encontrar los dos autovectores de la matriz — uno con λ = 2 y otro con λ = 3. Rotá el vector sonda hasta alinearlos.
Piensa en esto
¿Una rotación de 90° tiene autovectores (reales) en ℝ²?
¿Existe algún vector que, al rotarlo 90°, siga apuntando en la misma dirección?
No. Rotar 90° cambia la dirección de todo vector no nulo. No hay autovectores reales. (Existen autovectores complejos, pero eso es para más adelante.)
Se lee: 'lambda'. Es la letra griega λ (minúscula). En contexto de autovalores: 'lambda es el autovalor'.
En álgebra lineal, λ generalmente representa un autovalor: el factor por el que un autovector se escala cuando se aplica una transformación. Si Av = λv, entonces λ es cuánto se estira (o comprime, o invierte) el vector v.
import numpy as np A = np.array([[2, 1], [1, 2]]) eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A) # eigenvalues = [3, 1] ← estos son los λ # eigenvectors = columnas de la matriz
Si al transformar v por A el resultado es 3v, entonces λ = 3 es el autovalor.
Definición. Un vector no nulo v es un autovector de A con autovalor λ si:
Reescribimos Av = λv como (A - λI)v = 0. Para que v sea no nulo, necesitamos que A - λI sea no invertible:
Esta ecuación se llama la ecuación característica. Sus soluciones son los autovalores λ.
Los vectores en dirección (-1, 1) solo se escalan ×1 (no cambian). Los vectores en dirección (1, 1) se escalan ×3 (se triplican). Toda la transformación A se "descompone" en estos dos escalados independientes a lo largo de las direcciones propias.
Si Av = 3v, ¿cuál es el autovalor asociado a v?
Verifica que (1, 1) es autovector de A = \\begin{bmatrix} 2 & 1 \\\\ 1 & 2 \\end{bmatrix} calculando A · (1, 1):
¿Cuáles son los autovalores de la matriz identidad I?
Si λ = 0 es un autovalor de A, ¿qué podemos decir de A?
Verifica que (-1, 1) es autovector de A = \\begin{bmatrix} 2 & 1 \\\\ 1 & 2 \\end{bmatrix} con λ = 1. Calcula A · (-1, 1):
La suma de los autovalores de una matriz 2×2 es igual a...