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Orthogonality and projections
En la lección anterior vimos que el producto punto nos dice si dos vectores son perpendiculares (v · w = 0). Ahora vamos a extender esa idea: ¿qué pasa cuando todos los vectores de un conjunto son perpendiculares entre sí?
Un conjunto ortogonal es como un sistema de coordenadas perfecto: cada vector apunta en una dirección completamente independiente de los demás. Los ejes x, y, z son el ejemplo clásico — son perpendiculares entre sí.
Piensa en esto
Si tenés una base ortogonal {v₁, v₂} y querés escribir un vector w como c₁v₁ + c₂v₂, ¿cómo calculás c₁ sin resolver un sistema?
Tomá el producto punto de w con v₁. ¿Qué pasa con el término c₂v₂?
c₁ = (w · v₁) / (v₁ · v₁). Al tomar w · v₁, el término c₂(v₂ · v₁) desaparece porque v₁ ⊥ v₂. ¡No hay sistema que resolver!
Veamos cómo el proceso de Gram-Schmidt toma vectores "desordenados" y los convierte en un conjunto ortogonal perfecto, paso a paso.
Para cada nuevo vector, le sacamos todo lo que tiene en común con los anteriores (la proyección). Lo que queda es la parte genuinamente nueva — perpendicular a todo lo anterior.
Piensa en esto
Si durante Gram-Schmidt, al restar la proyección obtenés el vector cero, ¿qué significa?
Si v₂ − proj(v₂) = 0, entonces v₂ = proj(v₂), es decir v₂ es...
Significa que v₂ es combinación lineal de los anteriores — es redundante (linealmente dependiente). No aporta una nueva dirección.
Se lee: 'v es perpendicular a w' o 'v es ortogonal a w'
Dos vectores cuyo producto punto es cero: v · w = 0. Forman un ángulo de 90°.
# Verificar ortogonalidad import numpy as np v, w = np.array([1, 0]), np.array([0, 1]) is_orthogonal = np.isclose(np.dot(v, w), 0) # True
Los vectores de la base estándar son todos ortogonales entre sí.
Ortogonal: todos los pares de vectores son perpendiculares. uᵢ · uⱼ = 0 para i ≠ j.
Ortonormal: ortogonal + cada vector tiene norma 1. uᵢ · uⱼ = 0 para i ≠ j, y ||uᵢ|| = 1 para todo i.
Para pasar de ortogonal a ortonormal, simplemente normalizamos cada vector: û = u / ||u||.
Si W es un subespacio con base ortogonal \{\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_k\}, la proyección de v sobre W es:
Con una base ortonormal es más simple: proj = Σ (v · uᵢ) uᵢ (sin dividir por ||uᵢ||² porque ya es 1).
Algoritmo. Dados vectores linealmente independientes v₁, v₂, ..., vₙ, el proceso produce vectores ortogonales u₁, u₂, ..., uₙ:
Patrón: a cada vector le restamos sus proyecciones sobre todos los anteriores.
El complemento ortogonal de un subespacio W, escrito W⊥, es el conjunto de todos los vectores perpendiculares a todo vector en W:
Recordá del teorema fundamental: Row(A)⊥ = Nul(A) y Col(A)⊥ = Nul(Aᵀ). Los 4 espacios fundamentales son complementos ortogonales de a pares.
Piensa en esto
Si W es una recta en ℝ³, ¿qué forma tiene W⊥?
¿Cuántas dimensiones tiene ℝ³? ¿Cuántas tiene W?
W⊥ es un plano. dim(W) + dim(W⊥) = 3, y dim(W) = 1, así que dim(W⊥) = 2. Un espacio 2D en ℝ³ es un plano — el plano perpendicular a la recta.
¿Cuál de estos pares NO es ortogonal?
Normalizá el vector (3, 4) (dividilo por su norma). Escribí el resultado:
Proyectá v = (3, 1) sobre u = (1, 0). El resultado proj_u(v) es:
En Gram-Schmidt, si al restar las proyecciones obtenés el vector cero, ¿qué significa?
Si W es un plano en ℝ³, ¿qué es W⊥?
Gram-Schmidt: u₁ = (1, 0). Calculá u₂ a partir de v₂ = (2, 3). Restale la proyección sobre u₁: