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The cross product
El producto punto toma dos vectores y da un número. El producto cruz toma dos vectores y da un vector — uno que es perpendicular a los dos originales.
Solo existe en 3D. Pensá en un tornillo: si girás de a hacia b, el tornillo avanza en la dirección de a × b. Esa es la regla de la mano derecha.
Piensa en esto
¿Cuál es el producto cruz de un vector consigo mismo: a × a?
¿Cuál es el ángulo entre un vector y sí mismo? ¿Cuál es el sin de ese ángulo?
a × a = 0 (el vector cero). El ángulo es 0°, sin(0°) = 0, así que la magnitud es 0. Además, no hay una dirección 'perpendicular' única a un solo vector.
Probalo con los ejes: î × ĵ = k̂ (x × y = z). Apuntá los dedos en x, cerralos hacia y, el pulgar apunta en z. ✓
La visualización muestra dos vectores a y b en 3D, y su producto cruz a × b como un tercer vector perpendicular a ambos. El paralelogramo coloreado muestra el área = ||a × b||.
Piensa en esto
Si a = (1, 0, 0) y b = (0, 0, 1), ¿en qué dirección apunta a × b?
Usá la regla de la mano derecha: dedos en x, cerrá hacia z.
a × b = (0, -1, 0). Apunta en la dirección -y. Con la mano derecha: dedos en x, cerrá hacia z → el pulgar apunta en -y.
Se lee: 'a cruz b'
Un vector perpendicular a a y b, con magnitud igual al área del paralelogramo. Solo existe en ℝ³.
# En Python import numpy as np a = np.array([1, 0, 0]) b = np.array([0, 1, 0]) np.cross(a, b) # = [0, 0, 1]
El producto cruz de los ejes x e y da el eje z.
Se calcula como un determinante simbólico:
Expandiendo:
El producto triple conecta el producto cruz con el determinante:
El valor absoluto es el volumen del paralelepípedo formado por a, b, c. Cierra el círculo: área (2D) → volumen (3D) → determinante.
Piensa en esto
¿Por qué el producto cruz solo existe en 3D?
En 2D, ¿hay una dirección perpendicular a dos vectores en el plano?
En 2D, dos vectores están en el plano, y la perpendicular saldría del plano — necesitaríamos una tercera dimensión. En dimensiones mayores a 3, no hay una dirección perpendicular 'única' a dos vectores. Solo en 3D funciona: 2 vectores dejan exactamente 1 dimensión libre.
Calculá (1, 0, 0) × (0, 1, 0):
Calculá (0, 1, 0) × (1, 0, 0) (¡orden invertido!):
||a × b|| da...
Calculá (1, 2, 0) × (0, 0, 3). Escribí el resultado:
a × a = ?
¿Por qué el producto cruz solo existe en ℝ³?