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The dot product as projection
El producto punto (o producto escalar) toma dos vectores y devuelve un número. Pero ¿qué significa geométricamente?
Imagina que el sol brilla desde arriba y proyectas la sombra de un vector a sobre la dirección de otro vector b. La longitud de esa sombra, multiplicada por la longitud de b, es exactamente el producto punto a · b.
El producto punto mide cuánto van en la misma dirección dos vectores:
a · b > 0: apuntan en direcciones similares (ángulo < 90°)
a · b = 0: son perpendiculares (ángulo = 90°)
a · b < 0: apuntan en direcciones opuestas (ángulo > 90°)
Piensa en esto
¿Cuánto vale el producto punto de un vector consigo mismo, v · v?
Piensa en la proyección de v sobre su propia dirección. ¿Cuál es la 'sombra'?
v · v = |v|², el cuadrado de la longitud. La proyección de v sobre sí mismo es v completo, y multiplicar por su longitud da |v|².
La visualización muestra la proyección del vector a sobre el vector b. La línea punteada es la "sombra" de a sobre la dirección de b.
Desafíos: La visualización incluye desafíos como lograr perpendicularidad (a·b = 0) y maximizar la proyección. Resolvelos ajustando los sliders.
Piensa en esto
¿Puedes encontrar dos vectores no nulos cuyo producto punto sea exactamente 0?
El producto punto es 0 cuando los vectores son perpendiculares.
Por ejemplo, (1, 0) y (0, 1), o (1, 1) y (1, -1). Cualquier par perpendicular funciona.
donde θ es el ángulo entre los dos vectores.
El cos θ mide cuánto "apuntan en la misma dirección" dos vectores:
En resumen: a · b > 0 = ángulo agudo, a · b = 0 = perpendiculares, a · b < 0 = ángulo obtuso.
La proyección de a sobre b es el vector "sombra" de a en la dirección de b:
Conmutativo
Distributivo
Positivo definido
Ortogonalidad
Calcula el producto punto (2, 3) · (4, -1). Escribe el resultado como vector de dimensión 1:
¿Son perpendiculares los vectores (1, 2) y (-4, 2)?
Calcula la proyección de (4, 2) sobre (1, 0). La fórmula es (a·b / b·b) · b:
Si a · b > 0, ¿qué sabemos del ángulo θ entre a y b?
Calcula |v|² para v = (3, 4) usando el producto punto (v · v). Escribe como vector de dimensión 1: