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Change of basis
Imaginate que estás dando direcciones. "Caminá 3 cuadras al norte y 2 al este" y "caminá 3 cuadras hacia el río y 2 cuadras hacia la montaña" pueden llevar al mismo lugar — pero usan referencias diferentes.
En álgebra lineal, un cambio de base es exactamente eso: describir los mismos vectores usando diferentes "direcciones de referencia". El vector no cambia — lo que cambian son los números que usamos para describirlo.
¿Por qué cambiar de base? Porque algunos problemas son mucho más fáciles en una base que en otra. Por ejemplo, una rotación es complicada en la base estándar, pero si usamos la base de autovectores, se convierte en un simple escalado.
Piensa en esto
El vector (1, 1) en la base estándar se puede escribir como 1·(1,0) + 1·(0,1). Pero si la nueva base es B = {(1,1), (1,-1)}, ¿cuáles son las coordenadas de (1,1) en la base B?
(1, 1) = c₁·(1,1) + c₂·(1,-1). ¿Cuánto valen c₁ y c₂?
c₁ = 1 y c₂ = 0, porque (1,1) = 1·(1,1) + 0·(1,-1). En la base B, el vector se escribe como (1, 0) — ¡mucho más simple!
La visualización muestra el mismo vector descrito en dos bases distintas. El vector (la flecha) no se mueve — lo que cambian son las coordenadas.
Piensa en esto
Si elegimos como base B los autovectores de una transformación, ¿cómo se ve la transformación en esa base?
Un autovector solo se escala (no cambia de dirección). En la base de autovectores, la transformación solo escala cada eje.
En la base de autovectores, la transformación se convierte en una matriz diagonal: solo números en la diagonal, ceros en el resto. ¡Mucho más simple que la original!
Se lee: 'v en base B' o 'las coordenadas de v respecto a B'
Los coeficientes c₁, c₂, ..., cₙ tales que v = c₁b₁ + c₂b₂ + ... + cₙbₙ.
# Cambio de base import numpy as np P = np.column_stack([b1, b2]) # Matriz de cambio v_B = np.linalg.solve(P, v) # Coordenadas en base B
P es la matriz cuyas columnas son los vectores de la base B.
Si B = \{\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \ldots, \mathbf{b}_n\} es una base de ℝⁿ, la matriz de cambio de base es:
P convierte coordenadas en base B a coordenadas estándar: v = P · [v]_B. Y P⁻¹ hace lo inverso: [v]_B = P⁻¹ · v.
Si A es una transformación en la base estándar y queremos verla en la base B:
Se lee: "la representación de A en base B es P⁻¹AP". El proceso es: primero convertimos de B a estándar (P), luego aplicamos A, y finalmente volvemos a B (P⁻¹).
Piensa en esto
Si P es la matriz de autovectores de A, ¿cómo es P⁻¹AP?
En la base de autovectores, ¿qué le pasa a cada autovector bajo A?
P⁻¹AP = D, una matriz diagonal con los autovalores en la diagonal. Es la esencia de la diagonalización: A = PDP⁻¹.
El vector v = (5, 1) y la base B = {(1, 1), (1, -1)}. Calculá [v]_B, las coordenadas en base B:
¿Qué hace la matriz P (de cambio de base) cuando la multiplicás por [v]_B?
Si A = PDP⁻¹, ¿qué es D?
La base B = {(2, 0), (0, 3)}. La matriz P = \\begin{bmatrix} 2 & 0 \\\\ 0 & 3 \\end{bmatrix}. El vector v = (4, 9). Calculá [v]_B:
Al cambiar de base, ¿qué permanece igual?