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Beyond arrows
Hasta ahora, nuestros vectores han sido flechas y listas de números. Pero el álgebra lineal es mucho más general. Resulta que funciones, polinomios, y muchas otras cosas también se comportan como vectores.
¿Qué necesita algo para ser un "vector"? Solo dos cosas: que puedas sumarlos y multiplicarlos por escalares, y que esas operaciones se comporten bien (las mismas propiedades que vimos en la Lección 1.2).
Por ejemplo, las funciones: si f(x) = x² y g(x) = sin(x), puedes sumarlas (f + g)(x) = x² + sin(x) y escalarlas 3f(x) = 3x². Las mismas reglas aplican.
Piensa en esto
¿Los polinomios de grado ≤ 2 (como 3x² + 2x - 1) forman un espacio vectorial? ¿Puedes sumarlos y escalarlos?
Suma dos polinomios de grado ≤ 2. ¿El resultado sigue teniendo grado ≤ 2?
Sí. La suma de dos polinomios de grado ≤ 2 tiene grado ≤ 2, y un escalar por un polinomio de grado ≤ 2 también. Se cumplen todas las propiedades. Este espacio tiene dimensión 3 (base: {1, x, x²}).
Aunque no podemos "dibujar" funciones como flechas, podemos usar la misma intuición geométrica. Un polinomio de grado ≤ 2 como ax² + bx + c se puede representar como el vector (a, b, c) en ℝ³.
El polinomio 3x² + 2x - 1 corresponde al vector (3, 2, -1)
El polinomio x² + 1 corresponde al vector (1, 0, 1)
Su suma 4x² + 2x corresponde a (4, 2, 0) = (3,2,-1) + (1,0,1)
La "base canónica" de los polinomios de grado ≤ 2 es {1, x, x²}. Cualquier polinomio se escribe como combinación lineal de estos tres.
Piensa en esto
¿Cuál es la 'dimensión' del espacio de matrices 2×2?
¿Cuántos números independientes necesitas para especificar una matriz 2×2?
Dimensión 4. Una base es {\\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} 0 & 0 \\\\ 1 & 0 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{bmatrix}}. Cada matriz es una combinación lineal de estas cuatro.
Definición. Un espacio vectorial sobre ℝ es un conjunto V con dos operaciones (suma y multiplicación por escalar) que cumple los siguientes axiomas para todo u, v, w ∈ V y c, d ∈ ℝ:
Cerrado bajo suma
Cerrado bajo multiplicación por escalar
Conmutatividad
Existe elemento neutro
Identidad del escalar
Compatibilidad
Distributividad
Definición. Un subespacio de V es un subconjunto W ⊆ V que es a su vez un espacio vectorial. Para verificar, basta chequear:
Los espacios fundamentales que ya conocemos (null space, column space) son ejemplos de subespacios. El null space de A es un subespacio de ℝⁿ, y el column space es un subespacio de ℝᵐ.
¿El conjunto de todos los polinomios de grado EXACTAMENTE 2 es un espacio vectorial?
¿Cuál es la dimensión del espacio de polinomios de grado ≤ 3?
¿El conjunto {(x, y) ∈ ℝ² : x + y = 1} es un subespacio de ℝ²?
¿El conjunto {(x, y) ∈ ℝ² : x + y = 0} es un subespacio de ℝ²?
¿Cuál es la dimensión del espacio de matrices 2×3?