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Row space and the fundamental theorem
En la lección anterior vimos que una matriz A tiene un espacio nulo (lo que pierde) y un espacio columna (lo que alcanza). Pero hay una imagen más completa: cuatro espacios fundamentales que entre todos cuentan la historia completa de la matriz.
El espacio fila de A es el span de las filas de A. Es la contraparte "horizontal" del espacio columna. Si las columnas te dicen a dónde podés llegar, las filas te dicen las "restricciones" que el sistema impone.
En ℝⁿ (dominio):
Row(A): span de las filas. dim = r
Nul(A): Ax = 0. dim = n − r
En ℝᵐ (codominio):
Col(A): span de las columnas. dim = r
Nul(Aᵀ): Aᵀy = 0. dim = m − r
r = rango de A. Todo se reparte perfectamente: r + (n−r) = n y r + (m−r) = m.
Piensa en esto
Si A es 3×5 con rango 2, ¿cuáles son las dimensiones de los 4 espacios?
Row y Col tienen dim = r. Nul(A) tiene dim = n − r. Nul(Aᵀ) tiene dim = m − r.
Row(A): dim 2 (en ℝ⁵). Col(A): dim 2 (en ℝ³). Nul(A): dim 3 (en ℝ⁵). Nul(Aᵀ): dim 1 (en ℝ³). Verificá: 2+3=5 y 2+1=3. ✓
Pensá en los 4 espacios como un mapa de cómo la transformación A "mueve" la información:
ℝⁿ = Row(A) ⊕ Nul(A)
↓ A transforma ↓
ℝᵐ = Col(A) ⊕ Nul(Aᵀ)
A manda Row(A) → Col(A) de forma 1-a-1 (sin perder nada). Y manda Nul(A) → {0}(destruyéndolo). Todo lo que no está en Col(A) es "inalcanzable" — eso es Nul(Aᵀ).
Observá: Row(A) y Nul(A) son perpendiculares entre sí (en ℝ²): (1,2) · (−2,1) = −2 + 2 = 0. Esto siempre pasa — el row space y el null space son complementos ortogonales.
Piensa en esto
¿Por qué Row(A) y Nul(A) son perpendiculares?
Si Ax = 0, ¿qué significa eso para el producto punto de x con cada fila de A?
Ax = 0 dice que cada fila · x = 0. Es decir, x es perpendicular a CADA fila de A. Como Row(A) es el span de las filas, x es perpendicular a todo el espacio fila.
Se lee: 'el espacio fila de A'
El span de las filas de A. Equivale al espacio columna de Aᵀ: Row(A) = Col(Aᵀ).
# Row(A) = Col(Aᵀ) import numpy as np row_space_basis = np.linalg.qr(A.T)[0] # Base ortonormal
Las dos filas son proporcionales. Row space = una recta en ℝ³.
Las filas no nulas de la forma escalonada (REF) de A forman una base del row space. Las operaciones de fila no cambian el row space.
Se lee: 'V suma directa W' o 'V más-circulo W'
Significa que todo vector del espacio total se descompone de forma ÚNICA en una parte de V y una de W, sin superposición. V y W juntos 'llenan' todo el espacio y no se superponen (solo comparten el vector 0).
# Si ℝⁿ = V ⊕ W, entonces para todo x en ℝⁿ: # x = v + w (con v en V, w en W, de forma única) # Ejemplo: ℝ² = eje_x ⊕ eje_y # (3, 5) = (3, 0) + (0, 5) — descomposición única
Todo punto (a, b) se descompone de forma única en (a, 0) del eje x + (0, b) del eje y.
Teorema. Para una matriz A de m×n con rango r:
En palabras simples: la matriz "parte" ℝⁿ en dos pedazos perpendiculares — Row(A) y Nul(A). Lo que está en Row(A) sobrevive la transformación; lo que está en Nul(A) se destruye. Y en el codominio, Col(A) es lo alcanzable y Nul(Aᵀ) es lo inalcanzable.
ℝⁿ = Row(A) ⊕ Nul(A)
dim r + dim (n−r) = n
ℝᵐ = Col(A) ⊕ Nul(Aᵀ)
dim r + dim (m−r) = m
Piensa en esto
Si A es cuadrada n×n e invertible (rango = n), ¿cómo son los 4 espacios?
Si r = n = m, ¿qué dimensiones tienen los null spaces?
Row(A) = Col(A) = ℝⁿ (todo). Nul(A) = Nul(Aᵀ) = {0}. La transformación no pierde nada y alcanza todo.
Si A es 4×6 con rango 3, ¿cuál es la dimensión de Nul(A)?
Para la misma A (4×6, rango 3), ¿cuál es la dimensión de Nul(Aᵀ)?
¿Cuál es la relación entre Row(A) y Nul(A)?
A = \\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 6 \\end{bmatrix}. Las filas son (1,2) y (3,6) = 3×(1,2). ¿Cuál es el rango de A? Escribí un número:
Para la misma A (2×2, rango 1), ¿cuál es dim(Nul(A))? Escribí un número:
Si A es 3×3 e invertible, ¿cuáles de los 4 espacios son {0} (solo el vector cero)?