Álgebra Lineal Interactiva

Cuando una transformación lineal A "aplasta" el espacio, algunos vectores terminan en el origen. La pregunta es: ¿cuáles?

Pensá en una sombra. Cuando el sol proyecta tu sombra en el piso, la información de tu altura se pierde — todos los puntos a la misma altura dan la misma sombra. El espacio nulo es exactamente eso: todos los vectores que la transformación "aplasta" al cero, la información que se destruye al transformar.

3 ideas clave del null space

1. Lo que se pierde: Nul(A) = todos los vectores x donde Ax = 0 — la transformación los destruye.

2. Siempre hay al menos uno: x = 0 siempre cumple Ax = 0. Lo interesante es si hay más.

3. Es un subespacio: Si Av₁ = 0 y Av₂ = 0, entonces A(v₁ + v₂) = 0 y A(cv₁) = 0. Esto significa que el null space es una recta, un plano, o un espacio más grande — nunca un conjunto "suelto" de vectores.

Piensa en esto

Si la proyección al eje x es $P_x = \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{bmatrix}$ , ¿qué vectores manda al origen?

Pₓ · (x, y) = (x, 0). ¿Cuándo es eso (0, 0)?

Los vectores de la forma (0, y) — es decir, todo el eje y. Cualquier vector vertical se 'pierde' al proyectar sobre x.

Piensa en esto

Si A es 3×3 e invertible (det ≠ 0), ¿cuántos vectores no-cero hay en su null space? ¿Y si det = 0?

Si A es invertible, Ax = 0 tiene solución única. Si no lo es, hay toda una familia de soluciones.

Si det ≠ 0: ninguno (el único es x = 0). Si det = 0: infinitos — hay al menos una recta de vectores que se pierden.

El sistema Ax = 0 se llama homogéneo porque el lado derecho es cero. Siempre tiene al menos una solución: x = 0 (la solución trivial). Lo interesante es cuando tiene soluciones no triviales.

La grilla coloreada muestra cómo la transformación mueve los vectores del plano. Los vectores que terminan en el origen (0, 0) son el null space. Probá cada preset y observá qué direcciones desaparecen.

Pasos de exploración:

Hacé click en Proyección al eje x. Mirá cómo todos los vectores verticales colapsan al origen. El eje y completo desaparece — es el null space.
Ahora probá Proyección al eje y. ¿Qué dirección desaparece ahora?
Probá Colapso total. Todo se va al origen. El null space es todo ℝ².
Probá Rotación 90°. Ningún vector (salvo el 0) termina en el origen. Null space = {0}.
Finalmente, probá Shear horizontal. Deforma la grilla pero no pierde nada (det = 1). Null space = {0}.
Patrón: cuantas más dimensiones se pierden en la transformación, más grande es el null space.

Piensa en esto

Si una matriz 2×2 tiene determinante 0, ¿cuánta 'dimensión' tiene su null space?

Si det = 0, el espacio se aplasta. ¿Cuántas dimensiones se pierden?

Al menos 1. Si det = 0 pero la matriz no es cero, el null space tiene dimensión 1 (una recta). Si la matriz es la cero, el null space tiene dimensión 2 (todo ℝ²).

Cómo se lee

Se lee: 'el espacio nulo de A' o 'el kernel de A'

Significado

El conjunto de todos los vectores que A manda al vector cero. También se escribe ker(A).

En código

# El null space es el conjunto de soluciones de Ax = 0
import numpy as np
from scipy.linalg import null_space
null_space(A)  # Retorna una base del null space

Ejemplo concreto

\text{Nul}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \text{span}\left\{ \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}

El null space es la recta en dirección (-2, 1). Verifica: A·(-2, 1) = (0, 0).

Definición formal

\text{Nul}(A) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \mid A\mathbf{x} = \mathbf{0} \}

Ejemplo: encontrar el null space

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}, \quad A\mathbf{x} = \mathbf{0}

Buscamos todos los x tales que Ax = 0

Más ejemplos de null space

Ejemplo 2: columnas proporcionales

A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}, \quad A\mathbf{x} = \mathbf{0}

Nota: columna 2 = −1 × columna 1

Patrón: cuando una columna es múltiplo de la otra, det = 0 y el null space tiene dimensión 1.

Ejemplo 3: matriz 2×3 (más columnas que filas)

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \end{bmatrix}, \quad A\mathbf{x} = \mathbf{0}

Fila 2 = 2 × Fila 1. Solo queda una ecuación independiente

Matrices con más columnas que filas siempre tienen null space no trivial: no pueden tener rango mayor que el número de filas, así que quedan variables libres. (¿Recordás variables libres de la lección 3-2?)

Espacio columna

Cómo se lee

Se lee: 'el espacio columna de A' o 'la imagen de A'

Significado

El conjunto de todos los vectores b que se pueden alcanzar como Ax = b. Es el span de las columnas de A. Si b está en Col(A), el sistema Ax = b tiene solución.

En código

import numpy as np
# Col(A) = el span de las columnas de A
# Para verificar si b está en Col(A):
try:
    x = np.linalg.solve(A, b)  # Si no falla, b ∈ Col(A)
except:
    print("b no está en Col(A)")

Ejemplo concreto

\text{Col}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \text{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\right\}

Las columnas (1,2) y (2,4) son paralelas, así que solo generan una recta.

Definición. El espacio columna de A es el span de las columnas de A:

\text{Col}(A) = \text{span}(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n) = \{ A\mathbf{x} \mid \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \}

Es el conjunto de todos los vectores b tales que Ax = b tiene solución.

Ejemplo: espacio columna de $\\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 2 & 4 \\end{bmatrix}$

\text{Columnas: } \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}

Las columnas son paralelas — una es múltiplo de la otra

Piensa en esto

Para $A = \\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 2 & 4 \\end{bmatrix}$ , dim(Nul) = 1 y dim(Col) = 1. ¿Es coincidencia? La matriz es 2×2, o sea n = 2 columnas...

Sumá las dimensiones del null space y del espacio columna. ¿Qué obtenés?

1 + 1 = 2 = n. No es coincidencia: es el teorema rango-nulidad.

Teorema rango-nulidad

Cómo se lee

Se lee: 'la dimensión de V' o 'dim de V'

Significado

El número de vectores en una base de V — es decir, cuántos vectores independientes necesitás para generar todo el espacio V. Una recta tiene dim 1, un plano dim 2, el espacio 3D dim 3.

En código

import numpy as np
A = np.array([[1, 2], [2, 4]])
# dim(Col(A)) = rango
np.linalg.matrix_rank(A)  # = 1
# dim(Nul(A)) = n - rango = 2 - 1 = 1

Ejemplo concreto

\dim(\mathbb{R}^3) = 3, \quad \dim(\text{una recta}) = 1, \quad \dim(\{\mathbf{0}\}) = 0

ℝ³ necesita 3 vectores base. Una recta solo 1. El conjunto {0} no necesita ninguno.

\dim(\text{Col}(A)) + \dim(\text{Nul}(A)) = n \quad \text{(número de columnas)}

Lo que "sobrevive" + lo que "se pierde" = el total. El rango es dim(Col(A)).

Verificación con la matriz 2×3

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \end{bmatrix}, \quad n = 3 \text{ columnas}

Usamos la misma matriz del ejemplo 3

Las columnas de una matriz se "reparten" entre dos roles: unas contribuyen al rango (dimensiones que sobreviven) y las demás a la nulidad (dimensiones que se pierden). La suma siempre da n.

Las tres piezas

Nul(A): lo que se pierde (vectores que van al 0)

Col(A): lo que se puede alcanzar (la imagen de la transformación)

Rango + Nulidad = n: no se pierde ni se gana "dimensión" — solo se redistribuye

Ejercicios

Verifica que (-2, 1) está en el null space de $A = \\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 2 & 4 \\end{bmatrix}$ . Calcula A · (-2, 1):

(

)

No es correcto. Intenta de nuevo.

Si A es invertible (det ≠ 0), ¿cuál es su null space?

No es correcto. Intenta de nuevo.

Una matriz 3×3 tiene rango 2. ¿Cuál es la dimensión de su null space?

No es correcto. Intenta de nuevo.

La matriz $A = \\begin{bmatrix} 1 & 3 \\\\ 2 & 6 \\end{bmatrix}$ tiene null space en dirección (-3, 1). Verifica: calcula A · (-3, 1):

(

)

No es correcto. Intenta de nuevo.

¿Cuál es el espacio columna de la matriz cero (todos ceros)?

No es correcto. Intenta de nuevo.

Si v está en Nul(A) (es decir, Av = 0), ¿está 3v también en Nul(A)?

No es correcto. Intenta de nuevo.

La matriz $A = \\begin{bmatrix} 1 & -1 \\\\ 2 & -2 \\end{bmatrix}$ tiene null space en una dirección. Encontrá un vector (x, y) en el null space (pista: x − y = 0):

(

)

No es correcto. Intenta de nuevo.

Una matriz 4×6 tiene rango 3. ¿Cuál es la dimensión del null space?

No es correcto. Intenta de nuevo.

Cuando una transformación lineal A "aplasta" el espacio, algunos vectores terminan en el origen. La pregunta es: ¿cuáles?

3 ideas clave del null space

1. Lo que se pierde: Nul(A) = todos los vectores x donde Ax = 0 — la transformación los destruye.

2. Siempre hay al menos uno: x = 0 siempre cumple Ax = 0. Lo interesante es si hay más.

Piensa en esto

Si la proyección al eje x es $P_x = \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{bmatrix}$ , ¿qué vectores manda al origen?

Pₓ · (x, y) = (x, 0). ¿Cuándo es eso (0, 0)?

Los vectores de la forma (0, y) — es decir, todo el eje y. Cualquier vector vertical se 'pierde' al proyectar sobre x.

Piensa en esto

Si A es 3×3 e invertible (det ≠ 0), ¿cuántos vectores no-cero hay en su null space? ¿Y si det = 0?

Si A es invertible, Ax = 0 tiene solución única. Si no lo es, hay toda una familia de soluciones.

Si det ≠ 0: ninguno (el único es x = 0). Si det = 0: infinitos — hay al menos una recta de vectores que se pierden.

El sistema Ax = 0 se llama homogéneo porque el lado derecho es cero. Siempre tiene al menos una solución: x = 0 (la solución trivial). Lo interesante es cuando tiene soluciones no triviales.

Pasos de exploración:

Hacé click en Proyección al eje x. Mirá cómo todos los vectores verticales colapsan al origen. El eje y completo desaparece — es el null space.
Ahora probá Proyección al eje y. ¿Qué dirección desaparece ahora?
Probá Colapso total. Todo se va al origen. El null space es todo ℝ².
Probá Rotación 90°. Ningún vector (salvo el 0) termina en el origen. Null space = {0}.
Finalmente, probá Shear horizontal. Deforma la grilla pero no pierde nada (det = 1). Null space = {0}.
Patrón: cuantas más dimensiones se pierden en la transformación, más grande es el null space.

Piensa en esto

Si una matriz 2×2 tiene determinante 0, ¿cuánta 'dimensión' tiene su null space?

Si det = 0, el espacio se aplasta. ¿Cuántas dimensiones se pierden?

Al menos 1. Si det = 0 pero la matriz no es cero, el null space tiene dimensión 1 (una recta). Si la matriz es la cero, el null space tiene dimensión 2 (todo ℝ²).

Cómo se lee

Se lee: 'el espacio nulo de A' o 'el kernel de A'

Significado

El conjunto de todos los vectores que A manda al vector cero. También se escribe ker(A).

En código

# El null space es el conjunto de soluciones de Ax = 0
import numpy as np
from scipy.linalg import null_space
null_space(A)  # Retorna una base del null space

Ejemplo concreto

\text{Nul}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \text{span}\left\{ \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}

El null space es la recta en dirección (-2, 1). Verifica: A·(-2, 1) = (0, 0).

Definición formal

\text{Nul}(A) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \mid A\mathbf{x} = \mathbf{0} \}

Ejemplo: encontrar el null space

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}, \quad A\mathbf{x} = \mathbf{0}

Buscamos todos los x tales que Ax = 0

Más ejemplos de null space

Ejemplo 2: columnas proporcionales

A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}, \quad A\mathbf{x} = \mathbf{0}

Nota: columna 2 = −1 × columna 1

Patrón: cuando una columna es múltiplo de la otra, det = 0 y el null space tiene dimensión 1.

Ejemplo 3: matriz 2×3 (más columnas que filas)

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \end{bmatrix}, \quad A\mathbf{x} = \mathbf{0}

Fila 2 = 2 × Fila 1. Solo queda una ecuación independiente

Espacio columna

Cómo se lee

Se lee: 'el espacio columna de A' o 'la imagen de A'

Significado

El conjunto de todos los vectores b que se pueden alcanzar como Ax = b. Es el span de las columnas de A. Si b está en Col(A), el sistema Ax = b tiene solución.

En código

import numpy as np
# Col(A) = el span de las columnas de A
# Para verificar si b está en Col(A):
try:
    x = np.linalg.solve(A, b)  # Si no falla, b ∈ Col(A)
except:
    print("b no está en Col(A)")

Ejemplo concreto

\text{Col}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \text{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\right\}

Las columnas (1,2) y (2,4) son paralelas, así que solo generan una recta.

Definición. El espacio columna de A es el span de las columnas de A:

\text{Col}(A) = \text{span}(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n) = \{ A\mathbf{x} \mid \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \}

Es el conjunto de todos los vectores b tales que Ax = b tiene solución.

Ejemplo: espacio columna de $\\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 2 & 4 \\end{bmatrix}$

\text{Columnas: } \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}

Las columnas son paralelas — una es múltiplo de la otra

Piensa en esto

Para $A = \\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 2 & 4 \\end{bmatrix}$ , dim(Nul) = 1 y dim(Col) = 1. ¿Es coincidencia? La matriz es 2×2, o sea n = 2 columnas...

Sumá las dimensiones del null space y del espacio columna. ¿Qué obtenés?

1 + 1 = 2 = n. No es coincidencia: es el teorema rango-nulidad.

Teorema rango-nulidad

Cómo se lee

Se lee: 'la dimensión de V' o 'dim de V'

Significado

El número de vectores en una base de V — es decir, cuántos vectores independientes necesitás para generar todo el espacio V. Una recta tiene dim 1, un plano dim 2, el espacio 3D dim 3.

En código

import numpy as np
A = np.array([[1, 2], [2, 4]])
# dim(Col(A)) = rango
np.linalg.matrix_rank(A)  # = 1
# dim(Nul(A)) = n - rango = 2 - 1 = 1

Ejemplo concreto

\dim(\mathbb{R}^3) = 3, \quad \dim(\text{una recta}) = 1, \quad \dim(\{\mathbf{0}\}) = 0

ℝ³ necesita 3 vectores base. Una recta solo 1. El conjunto {0} no necesita ninguno.

\dim(\text{Col}(A)) + \dim(\text{Nul}(A)) = n \quad \text{(número de columnas)}

Lo que "sobrevive" + lo que "se pierde" = el total. El rango es dim(Col(A)).

Verificación con la matriz 2×3

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \end{bmatrix}, \quad n = 3 \text{ columnas}

Usamos la misma matriz del ejemplo 3

Las columnas de una matriz se "reparten" entre dos roles: unas contribuyen al rango (dimensiones que sobreviven) y las demás a la nulidad (dimensiones que se pierden). La suma siempre da n.

Las tres piezas

Nul(A): lo que se pierde (vectores que van al 0)

Col(A): lo que se puede alcanzar (la imagen de la transformación)

Rango + Nulidad = n: no se pierde ni se gana "dimensión" — solo se redistribuye

Ejercicios

Verifica que (-2, 1) está en el null space de $A = \\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 2 & 4 \\end{bmatrix}$ . Calcula A · (-2, 1):

(

)

No es correcto. Intenta de nuevo.

Si A es invertible (det ≠ 0), ¿cuál es su null space?

No es correcto. Intenta de nuevo.

Una matriz 3×3 tiene rango 2. ¿Cuál es la dimensión de su null space?

No es correcto. Intenta de nuevo.

La matriz $A = \\begin{bmatrix} 1 & 3 \\\\ 2 & 6 \\end{bmatrix}$ tiene null space en dirección (-3, 1). Verifica: calcula A · (-3, 1):

(

)

No es correcto. Intenta de nuevo.

¿Cuál es el espacio columna de la matriz cero (todos ceros)?

No es correcto. Intenta de nuevo.

Si v está en Nul(A) (es decir, Av = 0), ¿está 3v también en Nul(A)?

No es correcto. Intenta de nuevo.

La matriz $A = \\begin{bmatrix} 1 & -1 \\\\ 2 & -2 \\end{bmatrix}$ tiene null space en una dirección. Encontrá un vector (x, y) en el null space (pista: x − y = 0):

(

)

No es correcto. Intenta de nuevo.

Una matriz 4×6 tiene rango 3. ¿Cuál es la dimensión del null space?

No es correcto. Intenta de nuevo.

Sistemas homogéneos y null space

Notación

Intuición

3 ideas clave del null space

Visualización

Proyección al eje x

Proyección al eje y

Colapso total

Rotación 90°

Shear horizontal

Pasos de exploración:

Formal

Definición formal

Ejemplo: encontrar el null space

Más ejemplos de null space

Ejemplo 2: columnas proporcionales

Ejemplo 3: matriz 2×3 (más columnas que filas)

Espacio columna

Ejemplo: espacio columna de \\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 2 & 4 \\end{bmatrix}

Teorema rango-nulidad

Verificación con la matriz 2×3

Las tres piezas

Ejercicios

Ejercicios

Sistemas homogéneos y null space

Notación

Intuición

3 ideas clave del null space

Visualización

Proyección al eje x

Proyección al eje y

Colapso total

Rotación 90°

Shear horizontal

Pasos de exploración:

Formal

Definición formal

Ejemplo: encontrar el null space

Más ejemplos de null space

Ejemplo 2: columnas proporcionales

Ejemplo 3: matriz 2×3 (más columnas que filas)

Espacio columna

Ejemplo: espacio columna de \\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 2 & 4 \\end{bmatrix}

Teorema rango-nulidad

Verificación con la matriz 2×3

Las tres piezas

Ejercicios

Ejercicios

Ejemplo: espacio columna de $\\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 2 & 4 \\end{bmatrix}$

Ejemplo: espacio columna de $\\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 2 & 4 \\end{bmatrix}$