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3D determinant and Cramer's rule
En 2D el determinante mide el área del paralelogramo formado por dos vectores. En 3D, tres vectores forman un paralelepípedo (como una caja deformada), y el determinante 3×3 mide su volumen.
El signo del determinante 3×3 indica la orientación en el espacio. Para saber si la orientación es positiva o negativa, usamos la regla de la mano derecha.
Abrí tu mano derecha y seguí estos pasos:
Si el tercer vector (v₃) apunta en la dirección del pulgar: det > 0 (orientación positiva). Si apunta en la dirección opuesta: det < 0.
Con los ejes estándar: los dedos van de x hacia y, y el pulgar apunta hacia z. Por eso el eje z apunta "hacia vos" (hacia afuera de la pantalla). Esto define la orientación estándar del espacio 3D.
Piensa en esto
Si intercambiás dos columnas de una matriz 3×3, ¿qué le pasa al determinante?
Es lo mismo que en 2D. ¿Qué le pasa a la orientación al intercambiar dos vectores?
El determinante cambia de signo. Intercambiar dos vectores es como pasar de la mano derecha a la mano izquierda — la orientación se invierte.
La visualización muestra tres vectores en 3D formando un paralelepípedo. Rotá la escena (click y arrastrar) para verlo desde diferentes ángulos.
Piensa en esto
Si los tres vectores están en el mismo plano, ¿cuál es el volumen del paralelepípedo?
¿Qué 'altura' tiene una caja completamente aplastada?
Cero. Si los tres vectores son coplanares, el paralelepípedo no tiene profundidad. det = 0, y la transformación pierde una dimensión.
Expansión por cofactores (por la primera fila):
Cada término multiplica un elemento de la primera fila por el determinante 2×2 de lo que queda al tachar su fila y columna. Los signos alternan: +, -, +.
La regla de Sarrus es un atajo visual para el determinante 3×3. Copiás las dos primeras columnas a la derecha y sumás las diagonales descendentes, restás las ascendentes:
Advertencia: Sarrus solo funciona para 3×3. Para matrices más grandes, usá cofactores o eliminación.
Teorema (Cramer). Si Ax = b y det(A) ≠ 0, entonces cada componente de la solución se calcula reemplazando una columna de A por b:
donde Aᵢ es la matriz A con la columna i reemplazada por b.
Cramer
Eliminación
Piensa en esto
¿Por qué la regla de Cramer requiere que det(A) ≠ 0?
¿Qué pasa en la fórmula si det(A) = 0?
¡Dividimos por det(A)! Si det(A) = 0, estaríamos dividiendo por cero. Además, det = 0 significa que el sistema no tiene solución única — tiene 0 o infinitas.
Calculá el determinante de \\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 3 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 \\end{bmatrix}. Escribí un solo número:
¿Qué indica el signo del determinante 3×3?
Usá Cramer para resolver: 3x + y = 7, x + 2y = 4. Escribí (x, y):
¿Qué mide |det| para una matriz 3×3?
La regla de Sarrus funciona para matrices de tamaño:
Tres vectores son (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). ¿Cuál es el volumen del paralelepípedo? Escribí un número: