Cargando...
Cargando...
Sign and orientation
Ya vimos que |det| mide el cambio de área. Pero ¿qué significa el signo?
Imagina que caminas alrededor de un triángulo en sentido antihorario. Después de una transformación, ¿sigues caminando en sentido antihorario? Si sí, el determinante es positivo. Si ahora vas en sentido horario, es negativo. La orientación se invirtió.
Las reflexiones invierten la orientación (det < 0). Las rotaciones la preservan (det > 0). Un escalado por factor negativo en un eje también invierte.
Piensa en esto
Si aplicas dos reflexiones seguidas, ¿cuál es el signo del determinante de la composición?
det(AB) = det(A) · det(B). Si ambos son negativos...
Positivo. (-1) × (-1) = +1. Dos reflexiones componen una rotación, que preserva la orientación.
Un guante derecho, al reflejarlo, se convierte en un guante izquierdo. No importa cuánto lo rotes, no puedes convertir un guante izquierdo en uno derecho sin otra reflexión. El signo del determinante detecta exactamente esto.
Imaginá que dibujás una "L" en un papel. Si la transformación la convierte en una "L" normal (misma orientación), det > 0. Si la convierte en una "L espejada" (como viéndola desde atrás del papel), det < 0. Si la aplasta a una línea, det = 0.
• det > 0: preserva orientación (rotaciones, escalados positivos, shears)
• det < 0: invierte orientación (reflexiones, escalados con un factor negativo)
• det = 0: la transformación aplasta el espacio — pierde una dimensión
En la visualización, observa el color y el valor del determinante mientras ajustas los vectores.
Piensa en esto
¿Por qué intercambiar v₁ y v₂ cambia el signo del determinante?
Si v₂ estaba a la izquierda de v₁, ¿dónde queda v₁ respecto a v₂?
Intercambiar los vectores es como mirar desde el otro lado: lo que era antihorario se vuelve horario. Algebraicamente, intercambiar columnas cambia el signo del determinante.
Definición. La orientación de un par ordenado de vectores (v₁, v₂) en ℝ² es:
Intercambiar columnas cambia el signo
Escalar una columna escala el determinante
Sumar un múltiplo de una columna a otra no cambia el determinante
En ℝ³, el determinante de una matriz 3×3 mide el volumen con signo del paralelepípedo formado por tres vectores. El signo indica si los vectores forman un sistema "derecho" (positivo) o "izquierdo" (negativo), como la regla de la mano derecha.
¿Cuál transformación invierte la orientación?
Si intercambias las dos columnas de una matriz 2×2, ¿qué le pasa al determinante?
det(A) = 3 y det(B) = -2. ¿Cuánto vale det(AB) y qué pasa con la orientación?
Si sumas 5 veces la columna 1 a la columna 2, ¿qué le pasa al determinante?
Si escalas AMBAS columnas de una matriz 2×2 por el factor 3, ¿por cuánto se multiplica el determinante?