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The determinant as area
El determinante es uno de los números más importantes en álgebra lineal. Pero ¿qué significa geométricamente?
Imagina un cuadrado unitario en el plano. Cuando aplicas una transformación lineal, ese cuadrado se convierte en un paralelogramo. El determinante mide cuánto cambió el área. Si el cuadrado tenía área 1, el paralelogramo tiene área |det(A)|.
Pero hay más: el signo del determinante te dice si la transformación "volteó" la orientación. Piensa en un guante derecho que se convierte en un guante izquierdo: eso es un cambio de orientación (determinante negativo).
Piensa en esto
Si el determinante es 0, ¿qué le pasó al área del cuadrado?
Si |det| · área = área nueva, y det = 0...
El área se anuló completamente. El cuadrado se 'aplastó' a una línea o un punto. La transformación colapsa una dimensión — pierde información y no es invertible.
La visualización muestra dos vectores y el paralelogramo que forman. El área del paralelogramo es exactamente el valor absoluto del determinante.
Desafíos: La visualización te pide lograr área = 1 y encontrar una orientación invertida con área = 2. Ajustá la matriz con los sliders.
Piensa en esto
¿Puedes encontrar dos vectores unitarios (longitud 1) cuyo paralelogramo tenga el área máxima?
¿Qué ángulo maximiza el área del paralelogramo?
Cuando son perpendiculares, como (1, 0) y (0, 1). El paralelogramo es un cuadrado de área 1. Para vectores unitarios, el área es |sin(θ)| donde θ es el ángulo entre ellos.
Se lee: 'el determinante de A' o 'det de A'. También se escribe |A| con barras verticales.
Un número que resume cuánto una matriz cambia el área (en 2D) o volumen (en 3D). Si det = 0, la transformación aplasta el espacio y no es invertible. Si det < 0, invierte la orientación.
import numpy as np A = np.array([[3, 1], [2, 4]]) np.linalg.det(A) # = 10.0 # JavaScript (para 2×2): const det = a*d - b*c;
La identidad no cambia nada: el área se preserva (det = 1).
Definición. El determinante de una matriz 2×2 es:
Las columnas de la matriz son dos vectores: (a, c) y (b, d). El paralelogramo que forman tiene área = |ad − bc|. Esto es exactamente el producto cruz en 2D: la componente z de (a, c, 0) × (b, d, 0).
Ejemplo concreto: los vectores (3, 0) y (0, 2) forman un rectángulo de 3×2 = 6. Verificación: det = 3·2 − 0·0 = 6. ✓
Otro: los vectores (2, 1) y (1, 2) forman un paralelogramo. det = 2·2 − 1·1 = 3. El área es 3.
Multiplicativo: las áreas se multiplican
La inversa "deshace" el cambio de área
Escalar la matriz escala el determinante
El determinante detecta si la transformación es reversible
En 3D, el determinante mide el volumen del paralelepípedo formado por tres vectores. La fórmula se calcula expandiendo por una fila:
¿Cuánto vale det \\begin{bmatrix} 3 & 1 \\\\ 2 & 4 \\end{bmatrix}?
Si det(A) = -3, ¿qué le pasa al área y la orientación?
¿Cuánto vale det \\begin{bmatrix} 5 & 10 \\\\ 1 & 2 \\end{bmatrix}?
Si det(A) = 2 y det(B) = 5, ¿cuánto vale det(AB)? Escribe el valor como vector de dimensión 1:
Una transformación tiene det = 1. ¿Cuál de estas puede ser?
Si una matriz tiene det = 0, ¿es invertible?