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Matrix inverse
En aritmética, el inverso de 3 es 1/3 porque 3 × (1/3) = 1. Para matrices es lo mismo: la inversa de A es la matriz que "deshace" lo que A hizo.
Si A rota el espacio 90°, entonces A⁻¹ rota -90°. Si A estira el espacio al doble, A⁻¹ lo comprime a la mitad. Es la operación que devuelve todo a donde estaba: A⁻¹ · A = I (la identidad).
¿Por qué importa? Si tenés Ax = b y conocés A⁻¹, podés resolver directamente: x = A⁻¹b. No necesitás eliminación gaussiana — multiplicás y listo.
Pero no toda matriz tiene inversa. Si A "aplasta" el espacio (det = 0), la información se pierde y no hay forma de recuperarla. Solo las matrices con det ≠ 0 (las invertibles) tienen inversa.
Piensa en esto
La proyección P = \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{bmatrix} manda (x, y) a (x, 0). ¿Puede tener inversa?
Si P manda (3, 7) y (3, 2) al mismo punto (3, 0), ¿podés recuperar el y original?
No. Muchos vectores distintos van al mismo resultado — la información de y se pierde para siempre. Por eso det(P) = 0 y P no es invertible.
Piensa en esto
¿La identidad I tiene inversa? ¿Cuál es?
I no cambia nada. ¿Qué deshace 'no hacer nada'?
I⁻¹ = I. La identidad es su propia inversa: I · I = I.
La visualización muestra una transformación y su inversa. Observá cómo la inversa "deshace" exactamente lo que la original hizo.
Piensa en esto
Si A escala por 3 en x y por 2 en y: A = \\begin{bmatrix} 3 & 0 \\\\ 0 & 2 \\end{bmatrix}, ¿cuál es A⁻¹?
Para deshacer 'multiplicar por 3', hay que 'dividir por 3'.
A^{-1} = \\begin{bmatrix} 1/3 & 0 \\\\ 0 & 1/2 \\end{bmatrix}. Cada eje se divide por su factor de escala.
Se lee: 'A inversa'
La única matriz tal que A⁻¹A = AA⁻¹ = I. Existe solo cuando det(A) ≠ 0.
# En Python import numpy as np A = np.array([[2, 1], [5, 3]]) A_inv = np.linalg.inv(A) # Calcula A⁻¹
Verificá: el producto de ambas da la identidad.
Recordá: esto solo funciona si ad − bc ≠ 0 (la matriz es invertible).
Para matrices más grandes, usamos Gauss-Jordan: formamos [A | I] y reducimos a RREF. Si A es invertible, el resultado será [I | A⁻¹].
Piensa en esto
¿Por qué (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ y no A⁻¹B⁻¹?
Si te ponés primero medias y después zapatos, ¿qué te sacás primero?
Para deshacer 'primero A, después B', tenés que deshacer B primero y A después. Es como sacarte los zapatos antes que las medias: el último en entrar es el primero en salir.
¿Cuál de estas matrices NO tiene inversa?
Calculá la inversa de A = \\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\end{bmatrix}. Escribí los 4 elementos en orden: (a, b, c, d) para \\begin{bmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{bmatrix}.
Si A^{-1} = \\begin{bmatrix} 3 & -1 \\\\ -5 & 2 \\end{bmatrix} y b = (4, 7), calculá x = A⁻¹·b. Escribí (x₁, x₂):
Si det(A) = 5, ¿cuánto es det(A⁻¹)?
(AB)⁻¹ = ?