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RREF and general solutions
En la lección anterior aprendimos a llevar una matriz a forma escalonada. Pero la forma escalonada todavía requiere sustitución hacia atrás. ¿Y si pudiéramos simplificar aún más, hasta que la solución se lea directamente?
La forma escalonada reducida (RREF) es la versión "terminada" de la eliminación. En RREF, cada pivote es 1 y es el único número no nulo en su columna. Eso significa que podés leer la solución directamente de la matriz, sin calcular nada más.
Escalonada (REF)
Ceros debajo de cada pivote
Pivotes pueden ser cualquier número
Necesitás sustitución hacia atrás
Escalonada reducida (RREF)
Ceros arriba y abajo de cada pivote
Cada pivote es exactamente 1
La solución se lee directamente
Piensa en esto
¿Por qué no ir directo a RREF sin pasar por REF?
Pensá en la eficiencia computacional.
En la práctica, para resolver un sistema, alcanza con REF + sustitución hacia atrás (es más rápido). Pero RREF es más útil para entender la estructura del espacio solución, y es la forma 'canónica' — cada matriz tiene una sola RREF.
Veamos paso a paso cómo llevar una matriz a RREF. Seguí cada operación y observá cómo los pivotes se convierten en 1 y los demás elementos en sus columnas se hacen 0.
Observá: en RREF, la parte izquierda se convirtió en la matriz identidad I. Eso siempre pasa cuando el sistema tiene solución única (tantos pivotes como incógnitas).
Piensa en esto
En la RREF, ¿cómo identificás qué variables son libres?
Mirá las columnas que NO tienen pivote.
Las columnas sin pivote corresponden a variables libres. En el ejemplo, la columna 2 no tiene pivote, así que x₂ es libre. Las columnas con pivote (1 y 3) dan variables básicas que se expresan en función de las libres.
Se lee: 'la RREF de A' o 'la forma reducida de A'
La forma más simplificada posible de una matriz usando operaciones de fila. Es única para cada matriz.
# En Python con NumPy/SymPy from sympy import Matrix A = Matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]) A.rref() # Retorna (RREF, posiciones de pivotes)
Pivotes = 1, ceros arriba y abajo de cada pivote.
Una matriz está en RREF si cumple estas 4 condiciones:
Las condiciones 1-3 son las de REF. La condición 4 es lo que hace "reducida" a la RREF.
Teorema: Cada matriz tiene una única RREF. Aunque el camino para llegar (las operaciones de fila que elegimos) puede variar, el resultado final es siempre el mismo. Esto la hace una "huella digital" del sistema.
Caso 1: Solución única
Pivote en cada columna de variables. Sin ambigüedad.
Caso 2: Infinitas soluciones
Columnas sin pivote → variables libres → infinitas soluciones.
Caso 3: Sin solución
Fila [0 0 ... 0 | c≠0] → contradicción → sin solución.
El algoritmo de Gauss-Jordan es la eliminación gaussiana completa: primero se lleva a REF (eliminando hacia abajo), y luego se sigue eliminando hacia arriba para llegar a RREF. Es el mismo proceso en dos direcciones.
Piensa en esto
¿Gauss-Jordan es más eficiente que Gauss + sustitución hacia atrás?
Contá cuántas operaciones hace cada método.
No — Gauss-Jordan hace más operaciones (≈ n³/2 vs n³/3 + n²/2 para Gauss). Por eso en la práctica se prefiere Gauss + sustitución. Pero Gauss-Jordan es conceptualmente más limpio y útil para calcular inversas.
¿Cuál de estas matrices está en RREF?
La RREF de un sistema da . ¿Cuál es la solución (x, y)?
La RREF tiene la fila [0, 0, 0 | 4]. ¿Qué significa?
La RREF es . x₂ es libre. Si x₂ = 0, ¿cuál es (x₁, x₂, x₃)?
Un sistema 3×5 tiene RREF con pivotes en columnas 1, 3 y 4. ¿Cuántas variables libres hay?
Llevá a RREF. ¿Cuál es la nueva fila 1 (los 3 valores incluyendo el lado derecho)?