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Gaussian elimination
¿Cómo resolvemos un sistema de ecuaciones de forma sistemática? La eliminación gaussiana es el algoritmo fundamental. Funciona para cualquier tamaño de sistema, no solo 2×2.
La idea es simple: toma el sistema original y, paso a paso, simplifica las ecuaciones hasta que la solución sea obvia. Es como resolver un Sudoku: cada paso elimina una incógnita de una ecuación.
Las tres operaciones permitidas (que no cambian la solución) son:
1. Intercambiar dos ecuaciones
2. Multiplicar una ecuación por un escalar no cero
3. Sumar un múltiplo de una ecuación a otra
Piensa en esto
¿Por qué estas tres operaciones no cambian la solución del sistema?
Piensa en la perspectiva de filas: ¿cambian las rectas o su intersección?
Intercambiar ecuaciones no cambia nada. Multiplicar por un escalar no cambia la recta (solo la 'escribe diferente'). Sumar un múltiplo reemplaza una recta por otra que pasa por el mismo punto de intersección.
El objetivo es llegar a una forma escalonada donde cada ecuación tenga una incógnita menos que la anterior. Desde ahí, resolver es trivial: se despeja de abajo hacia arriba.
Veamos la eliminación en acción con un ejemplo paso a paso. Sigue cada operación y observa cómo el sistema se simplifica.
Piensa en esto
¿Qué pasaría si al eliminar, una ecuación se convierte en 0 = 5 (algo imposible)?
Si una ecuación dice algo falso, ¿qué significa para la solución?
Significa que el sistema no tiene solución — es inconsistente. Las ecuaciones se contradicen entre sí. En la perspectiva de filas, los planos no se cruzan en un punto común.
Se lee: 'la matriz aumentada de A y b'
Combinamos la matriz de coeficientes A y el vector b en una sola tabla. Las operaciones de fila se aplican a toda la fila, incluyendo b.
# En código, la matriz aumentada es simplemente # la matriz A con b pegado como última columna augmented = [[2, 1, 5], [1, -1, 1]] # [A | b]
La línea vertical separa los coeficientes (A) del resultado (b).
Definición. Las operaciones elementales de fila son:
E1: Intercambiar dos filas: Fᵢ ↔ Fⱼ
E2: Multiplicar una fila por c ≠ 0: Fᵢ ← c · Fᵢ
E3: Sumar un múltiplo de una fila a otra: Fᵢ ← Fᵢ + c · Fⱼ
Los pivotes son los primeros números no nulos de cada fila en forma escalonada. El número de pivotes determina todo:
Definición. Después de llevar un sistema a forma escalonada, cada columna con pivote define una variable básica (o dependiente). Las columnas sin pivote definen variables libres: pueden tomar cualquier valor, y cada valor genera una solución distinta.
La forma paramétrica separa la solución en: una solución particular (cuando t = 0) más una dirección de libertad por cada variable libre. Con 2 variables libres la solución sería un plano, con 3 un espacio tridimensional, etc.
Piensa en esto
Si un sistema de 5 ecuaciones con 5 incógnitas tiene 2 pivotes, ¿cuántas variables libres hay? ¿Cómo se ve geométricamente el conjunto solución?
Variables libres = incógnitas − pivotes. Cada variable libre agrega una 'dimensión' al conjunto solución.
Hay 5 − 2 = 3 variables libres. El conjunto solución es un espacio tridimensional (dentro de ℝ⁵): una solución particular más 3 direcciones de libertad.
Resuelve por eliminación: x + y = 4, 2x − y = 2. Escribe (x, y):
¿Cuál de estas NO es una operación elemental de fila válida?
Después de eliminación, la matriz aumentada queda como . ¿Qué significa la segunda fila?
Resuelve: 3x + 6y = 12, x + y = 3. Escribe (x, y):
En forma escalonada, la matriz tiene 2 pivotes y 3 incógnitas. ¿Cuántas soluciones tiene el sistema?
Aplica F₂ ← F₂ − 3·F₁ a la matriz aumentada . Escribe la nueva fila 2 (los tres valores):
La forma escalonada de un sistema 3×4 tiene pivotes en las columnas 1 y 3. ¿Cuáles son las variables libres?
El sistema reducido da: x₁ + 3x₂ = 7, x₂ es libre. Si x₂ = 0, ¿cuál es la solución (x₁, x₂)?