Capítulo 3·Lección 1

Tres perspectivas de Ax = b

Three perspectives of Ax = b

Notación

\in

Pertenece/ Element of

Indica que un elemento pertenece a un conjunto

\mathbb{R}

Números reales/ Real numbers

El conjunto de todos los números reales

\mathbb{R}^n

Espacio n-dimensional/ n-dimensional space

El conjunto de todos los vectores de n componentes reales

\sum

Sumatoria/ Summation

Suma de una secuencia de términos

\to

Mapea a/ Maps to

Indica que una función va de un conjunto a otro

\det

Determinante/ Determinant

El determinante de una matriz

\subset

Subconjunto/ Subset

Un conjunto está contenido en otro

\forall

Para todo/ For all

Se cumple para cada elemento

\lambda

Lambda (autovalor)/ Lambda (eigenvalue)

Comúnmente usado para autovalores

Paso 1 de 4

Intuición

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones que queremos resolver simultáneamente. Por ejemplo:

2x + y = 5

x − y = 1

Lo fascinante es que hay tres formas distintas de pensar en este mismo sistema. Cada perspectiva ilumina algo diferente:

1. Perspectiva de filas

Cada ecuación es una recta en el plano. La solución es donde se cruzan las rectas. Dos rectas se cruzan en un punto, son paralelas (sin solución), o son la misma recta (infinitas soluciones).

2. Perspectiva de columnas

Resolver Ax = b es encontrar la combinación lineal de las columnas de A que produce b. ¡Esto conecta directamente con el span!

3. Perspectiva de matriz

A es una transformación que lleva x a b. Resolver el sistema es encontrar el vector x que la transformación A manda al vector b.

Piensa en esto

En nuestro ejemplo, ¿la solución es x = 2, y = 1? Verifica sustituyendo en ambas ecuaciones.

Sustituye x = 2 e y = 1 en 2x + y y en x − y.

2(2) + 1 = 5 ✓ y 2 − 1 = 1 ✓. Sí, (2, 1) es la solución.

Paso 2 de 4

Visualización

La visualización muestra la perspectiva de columnas. Los vectores son las columnas de la matriz A, y los escalares c₁ y c₂ son las incógnitas x e y.

Resolver Ax = b es encontrar los escalares que hacen que la combinación lineal de las columnas dé exactamente el vector b.

Experimenta:

Ajusta c₁ y c₂ para que el vector resultado (verde) coincida con un punto objetivo
Observa cómo las columnas de A determinan qué vectores puedes "alcanzar"
Si las columnas son paralelas, ¿a qué puntos puedes llegar?
El conjunto de todos los b alcanzables es el espacio columna de A

Piensa en esto

Si las columnas de A son paralelas, ¿el sistema Ax = b siempre tiene solución?

Si las columnas son paralelas, el span es solo una línea...

No. Si las columnas son paralelas, solo puedes alcanzar vectores b sobre esa línea. Para cualquier b fuera de la línea, no hay solución.

Cargando...

Paso 3 de 4

Formal

La ecuación Ax = b

Todo sistema de ecuaciones lineales se puede escribir como:

A\mathbf{x} = \mathbf{b}

Ejemplo concreto

\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \underbrace{\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}}_{\mathbf{x}} = \underbrace{\begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}}_{\mathbf{b}}

Las tres perspectivas

Perspectiva de filas (row picture)

Cada fila de A da una ecuación. En ℝ², cada ecuación es una recta:

\text{Recta 1: } 2x + y = 5 \qquad \text{Recta 2: } x - y = 1

La solución es la intersección de las rectas.

Perspectiva de columnas (column picture)

Ax es una combinación lineal de las columnas de A:

x \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}

¿Qué combinación de las columnas produce b?

Perspectiva de matriz (matrix picture)

A es una transformación lineal. Buscamos el x tal que A lo transforma en b:

\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} \quad \text{(si A es invertible)}

"Deshacer" la transformación nos da la solución.

Resolviendo con la perspectiva de columnas

x \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}

Buscamos x e y

¿Cuándo tiene solución?

El sistema Ax = b tiene solución si y solo si b está en el espacio columna de A (es decir, en el span de las columnas). Hay tres casos posibles:

Solución única: las columnas son independientes y b está en su span
Infinitas soluciones: hay más incógnitas que ecuaciones necesarias
Sin solución: b no está en el espacio columna de A

Paso 4 de 4

Ejercicios

Resuelve el sistema: x + 2y = 7, 3x - y = 7. Escribe la solución (x, y):

(

)

No es correcto. Intenta de nuevo.

En la perspectiva de columnas, ¿qué significa resolver Ax = b?

No es correcto. Intenta de nuevo.

Si las columnas de A son (1, 2) y (2, 4), ¿el sistema Ax = (3, 5) tiene solución?

No es correcto. Intenta de nuevo.

Escribe el sistema 3x + y = 10, x + 2y = 5 como Ax = b. ¿Cuáles son las columnas de A? Escribe la primera columna:

(

)

No es correcto. Intenta de nuevo.

¿Cuántas soluciones tiene el sistema x + y = 2, 2x + 2y = 4?

No es correcto. Intenta de nuevo.

Resuelve: 2x - y = 1, x + y = 5. Escribe (x, y):

(

)

No es correcto. Intenta de nuevo.

Cargando...

Capítulo 3·Lección 1

Tres perspectivas de Ax = b

Three perspectives of Ax = b

Notación

\in

Pertenece/ Element of

Indica que un elemento pertenece a un conjunto

\mathbb{R}

Números reales/ Real numbers

El conjunto de todos los números reales

\mathbb{R}^n

Espacio n-dimensional/ n-dimensional space

El conjunto de todos los vectores de n componentes reales

\sum

Sumatoria/ Summation

Suma de una secuencia de términos

\to

Mapea a/ Maps to

Indica que una función va de un conjunto a otro

\det

Determinante/ Determinant

El determinante de una matriz

\subset

Subconjunto/ Subset

Un conjunto está contenido en otro

\forall

Para todo/ For all

Se cumple para cada elemento

\lambda

Lambda (autovalor)/ Lambda (eigenvalue)

Comúnmente usado para autovalores

Paso 1 de 4

Intuición

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones que queremos resolver simultáneamente. Por ejemplo:

2x + y = 5

x − y = 1

Lo fascinante es que hay tres formas distintas de pensar en este mismo sistema. Cada perspectiva ilumina algo diferente:

1. Perspectiva de filas

Cada ecuación es una recta en el plano. La solución es donde se cruzan las rectas. Dos rectas se cruzan en un punto, son paralelas (sin solución), o son la misma recta (infinitas soluciones).

2. Perspectiva de columnas

Resolver Ax = b es encontrar la combinación lineal de las columnas de A que produce b. ¡Esto conecta directamente con el span!

3. Perspectiva de matriz

A es una transformación que lleva x a b. Resolver el sistema es encontrar el vector x que la transformación A manda al vector b.

Piensa en esto

En nuestro ejemplo, ¿la solución es x = 2, y = 1? Verifica sustituyendo en ambas ecuaciones.

Sustituye x = 2 e y = 1 en 2x + y y en x − y.

2(2) + 1 = 5 ✓ y 2 − 1 = 1 ✓. Sí, (2, 1) es la solución.

Paso 2 de 4

Visualización

La visualización muestra la perspectiva de columnas. Los vectores son las columnas de la matriz A, y los escalares c₁ y c₂ son las incógnitas x e y.

Resolver Ax = b es encontrar los escalares que hacen que la combinación lineal de las columnas dé exactamente el vector b.

Experimenta:

Ajusta c₁ y c₂ para que el vector resultado (verde) coincida con un punto objetivo
Observa cómo las columnas de A determinan qué vectores puedes "alcanzar"
Si las columnas son paralelas, ¿a qué puntos puedes llegar?
El conjunto de todos los b alcanzables es el espacio columna de A

Piensa en esto

Si las columnas de A son paralelas, ¿el sistema Ax = b siempre tiene solución?

Si las columnas son paralelas, el span es solo una línea...

No. Si las columnas son paralelas, solo puedes alcanzar vectores b sobre esa línea. Para cualquier b fuera de la línea, no hay solución.

Cargando...

Paso 3 de 4

Formal

La ecuación Ax = b

Todo sistema de ecuaciones lineales se puede escribir como:

A\mathbf{x} = \mathbf{b}

Ejemplo concreto

\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \underbrace{\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}}_{\mathbf{x}} = \underbrace{\begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}}_{\mathbf{b}}

Las tres perspectivas

Perspectiva de filas (row picture)

Cada fila de A da una ecuación. En ℝ², cada ecuación es una recta:

\text{Recta 1: } 2x + y = 5 \qquad \text{Recta 2: } x - y = 1

La solución es la intersección de las rectas.

Perspectiva de columnas (column picture)

Ax es una combinación lineal de las columnas de A:

x \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}

¿Qué combinación de las columnas produce b?

Perspectiva de matriz (matrix picture)

A es una transformación lineal. Buscamos el x tal que A lo transforma en b:

\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} \quad \text{(si A es invertible)}

"Deshacer" la transformación nos da la solución.

Resolviendo con la perspectiva de columnas

x \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}

Buscamos x e y

¿Cuándo tiene solución?

El sistema Ax = b tiene solución si y solo si b está en el espacio columna de A (es decir, en el span de las columnas). Hay tres casos posibles:

Solución única: las columnas son independientes y b está en su span
Infinitas soluciones: hay más incógnitas que ecuaciones necesarias
Sin solución: b no está en el espacio columna de A

Paso 4 de 4

Ejercicios

Resuelve el sistema: x + 2y = 7, 3x - y = 7. Escribe la solución (x, y):

(

)

No es correcto. Intenta de nuevo.

En la perspectiva de columnas, ¿qué significa resolver Ax = b?

No es correcto. Intenta de nuevo.

Si las columnas de A son (1, 2) y (2, 4), ¿el sistema Ax = (3, 5) tiene solución?

No es correcto. Intenta de nuevo.

Escribe el sistema 3x + y = 10, x + 2y = 5 como Ax = b. ¿Cuáles son las columnas de A? Escribe la primera columna:

(

)

No es correcto. Intenta de nuevo.

¿Cuántas soluciones tiene el sistema x + y = 2, 2x + 2y = 4?

No es correcto. Intenta de nuevo.

Resuelve: 2x - y = 1, x + y = 5. Escribe (x, y):

(

)

No es correcto. Intenta de nuevo.