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Composition of transformations
¿Qué pasa si aplicas una transformación y luego otra? Por ejemplo, primero rotas 90° y después reflejas sobre el eje x. El resultado es otra transformación lineal — y tiene su propia matriz.
La composición de transformaciones es aplicarlas en secuencia. Y la matriz de la composición es el producto de las matrices individuales. Esta es la razón profunda de por qué la multiplicación de matrices se define como se define.
Dato crucial: el orden importa. Rotar y luego reflejar no da lo mismo que reflejar y luego rotar. La multiplicación de matrices no es conmutativa.
Piensa en esto
Si primero escalas todo ×2 y luego rotas 90°, ¿da lo mismo que rotar primero y escalar después?
En este caso particular, piensa si el escalado uniforme 'conmuta' con la rotación...
¡En este caso sí da lo mismo! El escalado uniforme (2I) conmuta con cualquier matriz: 2I · A = A · 2I = 2A. Pero esto es una excepción — en general el orden importa.
Prueba las composiciones de abajo. Cada preset muestra el resultado de aplicar dos transformaciones en secuencia. Compara con las transformaciones individuales de lecciones anteriores.
Piensa en esto
Si aplicas una transformación y luego su 'inversa', ¿qué obtienes?
Piensa: rotar 90° y luego rotar -90°. ¿Dónde termina todo?
Obtienes la identidad: todo vuelve a su lugar original. La composición de una transformación con su inversa es la transformación 'no hacer nada'.
Definición. Si A y B son matrices 2×2, su producto AB es la matriz de la composición "primero B, luego A":
Nota el orden: AB significa "aplica B primero, luego A". Se lee de derecha a izquierda.
Para calcular la entrada en la fila i, columna j del resultado, tomá la fila i de A y la columna j de B, y hacé el producto punto (multiplicá componente a componente y sumá):
(AB)₁₁ = (fila 1 de A) · (col 1 de B) = a·e + b·g
(AB)₁₂ = (fila 1 de A) · (col 2 de B) = a·f + b·h
(AB)₂₁ = (fila 2 de A) · (col 1 de B) = c·e + d·g
(AB)₂₂ = (fila 2 de A) · (col 2 de B) = c·f + d·h
No conmutativa
Asociativa
Distributiva
Identidad
El determinante es multiplicativo
Si AB ≠ BA, ¿qué propiedad NO tiene la multiplicación de matrices?
Calcula la primera columna del producto AB, donde A = \\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \\end{bmatrix} y B = \\begin{bmatrix} 5 & 6 \\\\ 7 & 8 \\end{bmatrix}. La primera columna de AB es A · (primera columna de B):
Calcula la segunda columna del producto AB (con A y B del ejercicio anterior):
Si det(A) = 2 y det(B) = 3, ¿cuánto vale det(AB)?
¿Qué transformación resulta de aplicar una rotación de 90° dos veces?
Primero aplica la reflexión S_x = \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & -1 \\end{bmatrix} al vector (2, 3), y luego aplica la rotación R_{90} = \\begin{bmatrix} 0 & -1 \\\\ 1 & 0 \\end{bmatrix} al resultado. ¿Cuál es el vector final?