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Catalog of transformations
Ya vimos rotaciones, reflexiones y shear. Pero hay otra familia de transformaciones igualmente importante: las proyecciones.
Imagina una sombra en el piso al mediodía: un objeto 3D se "aplasta" a 2D. En el plano, una proyección aplasta todo sobre una línea (o un punto). La información en la dirección perpendicular se pierde para siempre.
Las proyecciones tienen una propiedad curiosa: si proyectas algo que ya está proyectado, no pasa nada. La sombra de una sombra es la misma sombra. Matemáticamente: aplicar la proyección dos veces da lo mismo que aplicarla una vez.
Piensa en esto
Si una proyección aplasta todo el plano sobre una línea, ¿es reversible? ¿Puedes reconstruir el original?
Piensa: ¿dos puntos distintos pueden terminar en el mismo lugar?
No es reversible. Todos los puntos sobre una línea perpendicular a la dirección de proyección terminan en el mismo punto. Se pierde una dimensión entera de información.
También veremos el escalado no uniforme: estirar más en una dirección que en otra. Y finalmente conectaremos todo: el determinante mide exactamente cuánto cambia el área bajo cualquier transformación.
Prueba cada tipo de proyección y escalado. Observa qué le pasa a la cuadrícula y al determinante.
Piensa en esto
¿Qué tienen en común todas las proyecciones en cuanto al determinante?
Prueba varias proyecciones y observa el valor del determinante.
Todas las proyecciones tienen determinante 0. Esto tiene sentido: al colapsar el plano a una línea, el área de cualquier figura se reduce a cero.
Conserva la componente x, elimina la y. det = 0.
Conserva la componente y, elimina la x. det = 0.
Proyecta cada punto al punto más cercano sobre la diagonal. det = 0.
Propiedad clave. Una proyección P cumple P² = P (es idempotente):
Hecho fundamental. Si una región tiene área A, después de aplicar la transformación con matriz M, el área se convierte en |det(M)| · A.
Proyecta el vector (3, 5) sobre el eje x usando P_x = \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{bmatrix}:
Aplica el escalado no uniforme S = \\begin{bmatrix} 3 & 0 \\\\ 0 & 2 \\end{bmatrix} al vector (1, 4):
¿Cuánto vale el determinante de la proyección sobre la línea y = x?
Si una transformación tiene |det| = 3, ¿qué le pasa al área de un cuadrado unitario?
¿Cuál de estas propiedades distingue a una proyección de otras transformaciones?
Proyecta (2, 6) sobre la línea y = x usando P = \\begin{bmatrix} \\frac{1}{2} & \\frac{1}{2} \\\\ \\frac{1}{2} & \\frac{1}{2} \\end{bmatrix}. Escribe el resultado: