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Matrices as transformations
Una Matriz 2×2 no es solo una tabla de números — es una transformación del plano. Cada tipo de transformación tiene una matriz característica.
En esta lección vamos a ver las transformaciones más comunes y sus matrices. Usa la visualización para experimentar con cada una.
Piensa en esto
¿Cuál de estas transformaciones cambia el área? ¿Cuáles la preservan?
El determinante te dice cuánto cambia el área.
Rotación y reflexión preservan el área (det = ±1). Shear preserva el área (det = 1). Escalado 2× cuadruplica el área (det = 4).
Prueba cada tipo de transformación en la visualización. Ingresa los valores de la matriz interactiva y observa cómo la cuadrícula cambia.
Presta atención al determinante (abajo a la derecha): cuando es positivo, la orientación se preserva. Cuando es negativo, se invierte (como un espejo). Cuando es cero, la cuadrícula colapsa.
Piensa en esto
¿Puedes encontrar una matriz que rote 90° y al mismo tiempo duplique el tamaño?
Combina la rotación con un escalado: multiplica la matriz de rotación por 2.
Sí: \\begin{bmatrix} 0 & -2 \\\\ 2 & 0 \\end{bmatrix}. Es 2 veces la matriz de rotación 90°. El determinante es 4 (duplica el área en cada eje).
det = 1 (siempre). Preserva longitudes y ángulos.
det = -1. Invierte la orientación.
det = 1. Preserva el área pero inclina.
¿Qué transformación tiene determinante negativo?
¿Cuál es el determinante de la matriz de rotación por cualquier ángulo θ?
Aplica una rotación de 90° al vector (2, 1). La matriz es \\begin{bmatrix} 0 & -1 \\\\ 1 & 0 \\end{bmatrix}:
Si aplicas una reflexión sobre el eje x dos veces seguidas, ¿qué obtienes?
Aplica el shear horizontal H_1 = \\begin{bmatrix} 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\end{bmatrix} al vector (2, 3):