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What is a linear transformation?
Una transformación lineal es una función que toma vectores y produce vectores, pero con dos reglas especiales: mantiene las líneas rectas y el origen en su lugar.
Piensa en agarrar una hoja de papel cuadriculado y deformarla: puedes estirarla, comprimirla, rotarla, reflejarla, o "cizallarla" (inclinarla). Pero las líneas de la cuadrícula deben seguir siendo líneas rectas y paralelas, y el centro debe quedarse fijo.
Piensa en esto
¿Doblar el papel por la mitad sería una transformación lineal? ¿Y arrugarlo?
¿Las líneas rectas se mantendrían rectas?
No. Doblar crea una discontinuidad y arrugar convierte líneas rectas en curvas. Ninguno es lineal.
Lo sorprendente es que cualquier transformación lineal en ℝ² queda completamente determinada por lo que le pasa a los vectores base î = (1,0) y ĵ = (0,1). Si sabes dónde van esos dos, puedes calcular dónde va cualquier vector.
La visualización muestra una cuadrícula 2D. Los vectores î (rojo) y ĵ (azul) son los vectores base transformados.
Mueve los sliders o haz click en un preset para ver cómo la cuadrícula se deforma. Observa cómo cambia el determinante.
Desafíos: La visualización incluye desafíos como crear una rotación de 90° y hacer que la grilla colapse (det = 0). Resolvelos con los sliders.
Piensa en esto
Si el determinante pasa a ser cero, ¿qué le pasa a la cuadrícula?
Observa qué dimensión tiene la imagen cuando det = 0.
La cuadrícula colapsa a una línea o un punto. El espacio pierde una dimensión — la transformación ya no es invertible.
Definición. Una función T: ℝⁿ → ℝᵐ es una transformación lineal si cumple:
Toda transformación lineal T: ℝ² → ℝ² se puede representar como una matriz 2×2. Las columnas de la matriz son las imágenes de los vectores base:
¿Cuál de estas NO es una transformación lineal?
Si T(1,0) = (2,0) y T(0,1) = (0,3), ¿cuál es la matriz de T?
Aplica la matriz A = \\begin{bmatrix} 2 & 0 \\\\ 0 & 3 \\end{bmatrix} al vector (1, 2). Es decir, calcula A·v:
¿Qué le pasa al vector cero (0, 0) bajo cualquier transformación lineal?
Si T preserva el origen y las líneas rectas, ¿preserva también las líneas paralelas?