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Linear independence and bases
En la lección anterior vimos que con combinaciones lineales de dos vectores podemos llegar a muchos puntos. Pero ¿siempre necesitamos dos vectores? ¿Podría ser que uno de ellos sea redundante?
Imagina que tienes dos vectores que apuntan en la misma dirección, como v₁ = (2, 1) y v₂ = (4, 2). El segundo es simplemente el doble del primero. Cualquier punto que puedas alcanzar combinándolos, también lo puedes alcanzar solo con v₁. El vector v₂ no te da ningún "poder" adicional.
Decimos que un conjunto de vectores es linealmente independiente cuando ninguno de ellos es redundante — ninguno puede escribirse como combinación lineal de los demás. Si alguno sí se puede, son linealmente dependientes.
Piensa en esto
¿Los vectores (1, 0) y (0, 1) son linealmente independientes? ¿Por qué?
¿Puedes escribir (1, 0) como c · (0, 1) para algún número c?
Sí, son independientes. No hay forma de obtener (1, 0) escalando (0, 1), porque escalar (0, 1) siempre da (0, c), que tiene primera componente cero.
Una Base es un conjunto de vectores linealmente independientes que genera todo el espacio. Es el equipo mínimo de vectores que necesitas para llegar a cualquier punto. En ℝ², una base tiene exactamente 2 vectores.
Piensa en esto
Si una base de ℝ² tiene 2 vectores, ¿cuántos vectores crees que tiene una base de ℝ³?
En ℝ³ necesitas alcanzar puntos en 3 dimensiones...
Una base de ℝ³ tiene exactamente 3 vectores. Y una base de ℝⁿ siempre tiene exactamente n vectores. Este número se llama la dimensión del espacio.
Ajusta los vectores v₁ y v₂ con los sliders. El área coloreada muestra el paralelogramo que forman.
Desafíos: La visualización incluye desafíos como lograr que los vectores sean dependientes o que el área sea exactamente 4. Probá resolverlos con los sliders.
Piensa en esto
Geométricamente, ¿qué significa que dos vectores en ℝ² sean dependientes?
Observa qué pasa en la visualización cuando el determinante es 0.
Significa que ambos vectores caen en la misma recta que pasa por el origen. El paralelogramo 'colapsa' a una línea, con área cero. No hay ninguna dirección 'nueva' en v₂.
Definición. Los vectores v₁, v₂, ..., vₖ son linealmente independientes si la única forma de obtener el vector cero como combinación lineal es con todos los escalares iguales a cero:
Si existe alguna combinación no trivial (donde algún cᵢ ≠ 0) que da el vector cero, los vectores son linealmente dependientes. Eso significa que puedes "despejar" uno en función de los otros.
Definición. Una Base de un espacio vectorial V es un conjunto de vectores que es:
La base más conocida de ℝⁿ es la base canónica:
Teorema. Todas las bases de un espacio vectorial tienen la misma cantidad de vectores. Este número se llama la dimensión del espacio.
ℝ² tiene dimensión 2 (necesitas 2 vectores para una base), ℝ³ tiene dimensión 3, etc.
Para dos vectores en ℝ², hay un atajo: son linealmente independientes si y solo si el determinante de la matriz que forman es distinto de cero.
¿Son linealmente independientes los vectores (1, 2) y (3, 6)?
¿Cuántos vectores tiene una base de ℝ⁴?
¿Cuál de los siguientes vectores es linealmente independiente de v₁ = (1, 3)?
¿Cuál de los siguientes conjuntos es una base de ℝ²?
¿Cuál es el determinante de la matriz formada por v₁ = (3, 1) y v₂ = (1, 2)? Recuerda: det = v₁ₓ · v₂ᵧ − v₁ᵧ · v₂ₓ
Si v₁ = (1, 2) y v₂ = (3, 6), encuentra c₁ y c₂ no ambos cero tales que c₁·v₁ + c₂·v₂ = (0, 0). Escribe (c₁, c₂):