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Linear combinations and span
Ahora que podemos sumar vectores y multiplicar por escalares, la pregunta natural es: si tengo un par de vectores, ¿a qué puntos del plano puedo llegar combinándolos?
Una combinación lineal es simplemente escalar cada vector por un número y sumar los resultados. Por ejemplo, si tienes dos vectores v₁ y v₂, puedes hacer c₁·v₁ + c₂·v₂ para cualquier par de números c₁ y c₂.
El Espacio generado de un conjunto de vectores es el conjunto de todos los puntos que puedes alcanzar con combinaciones lineales de esos vectores.
Piensa en esto
Si tienes un solo vector v = (1, 0), ¿cuál es su span? ¿A qué puntos puedes llegar?
Puedes multiplicar v por cualquier número real c.
El span de (1, 0) es toda la recta horizontal (el eje x). Cualquier punto (c, 0) se puede alcanzar con c · (1, 0).
Piensa en esto
¿Puedes pensar en dos vectores cuyo span sea todo el plano ℝ²?
Necesitas poder llegar a cualquier punto (x, y). ¿Qué pasa con v₁ = (1, 0) y v₂ = (0, 1)?
Con v₁ = (1, 0) y v₂ = (0, 1), puedes hacer x·v₁ + y·v₂ = (x, y), es decir, llegas a cualquier punto.
Usa los sliders para cambiar los escalares c₁ y c₂. Observa cómo el vector resultado (verde) se mueve por el plano.
Desafíos: La visualización tiene desafíos interactivos que te piden encontrar coeficientes específicos. Ajustá los sliders y recibí feedback inmediato.
Piensa en esto
¿Qué pasa si ambos vectores apuntan en la misma dirección? ¿Puedes llegar a cualquier punto del plano?
Si v₁ y v₂ son paralelos, ¿en qué dirección se mueve c₁·v₁ + c₂·v₂?
No. Si son paralelos, todas las combinaciones caen sobre una sola recta. Necesitas vectores en direcciones diferentes para cubrir todo el plano.
Se lee: 'la suma desde i igual 1 hasta n de a sub i'
Significa sumar muchos términos. El índice i toma cada valor desde el número de abajo hasta el de arriba.
# Python equivalente resultado = sum(a[i] for i in range(1, n+1)) # JavaScript equivalente let resultado = 0; for (let i = 1; i <= n; i++) resultado += a[i];
i toma los valores 1, 2, 3. Para cada uno, calculamos i² y sumamos todo.
Definición. Una combinación lineal de los vectores v₁, v₂, ..., vₖ es cualquier expresión de la forma:
Se lee: 'el span de v₁ y v₂' o 'el espacio generado por v₁ y v₂'
El conjunto de TODOS los vectores que podés crear combinando los vectores dados con cualquier escalar. Es como decir: 'todo lo que puedo alcanzar usando estos vectores como ingredientes'.
# No hay una función directa, pero conceptualmente:
# span{v1, v2} = {c1*v1 + c2*v2 para todo c1, c2 en ℝ}
# En numpy, para verificar si w está en span{v1, v2}:
import numpy as np
A = np.column_stack([v1, v2])
# Si np.linalg.lstsq(A, w) da residuo 0, w está en el spanSolo podés escalar (1,0) por cualquier número c, dando (c, 0) — toda la recta horizontal.
Definición. El Espacio generado de un conjunto de vectores es el conjunto de todas sus combinaciones lineales posibles:
1 vector (no cero): span{v} = una recta que pasa por el origen. Todos los múltiplos de v: ..., -2v, -v, 0, v, 2v, 3v, ...
2 vectores independientes: span{v₁, v₂} = todo el plano ℝ². ¿Por qué? Porque c₁·(1, 0) + c₂·(0, 1) = (c₁, c₂) cubre cualquier punto.
2 vectores paralelos: span{v₁, v₂} = solo una recta. Si v₂ = 2v₁, entonces c₁·v₁ + c₂·(2v₁) = (c₁ + 2c₂)·v₁, que es solo una dirección.
Piensa en esto
¿(3, 6) está en span{(1, 2)}? ¿Y (1, 3)?
Para (3, 6): ¿existe c tal que c·(1, 2) = (3, 6)? Para (1, 3): ¿existe c tal que c·(1, 2) = (1, 3)?
(3, 6) = 3·(1, 2), así que sí. Pero para (1, 3) necesitaríamos c = 1 (por la primera componente) y c = 3/2 (por la segunda). No pueden ser iguales → (1, 3) NO está en el span.
Calcula la combinación lineal 2·(1, 0) + 3·(0, 1):
¿Cuál es el span de un solo vector no nulo en ℝ²?
Encuentra c₁ y c₂ tales que c₁·(1, 1) + c₂·(1, -1) = (3, 1). Escribe (c₁, c₂):
Calcula la combinación lineal 3·(1, 2) + (-1)·(4, 1):
Si v₁ = (2, 4) y v₂ = (1, 2), ¿cuál es el span de {v₁, v₂}?
Encuentra c₁ y c₂ tales que c₁·(1, 0) + c₂·(0, 1) = (5, -3). Escribe (c₁, c₂):