Capítulo 1·Lección 2

Suma de vectores y escalares

Vector addition and scalars

Notación

\in

Pertenece/ Element of

Indica que un elemento pertenece a un conjunto

\mathbb{R}

Números reales/ Real numbers

El conjunto de todos los números reales

\mathbb{R}^n

Espacio n-dimensional/ n-dimensional space

El conjunto de todos los vectores de n componentes reales

\sum

Sumatoria/ Summation

Suma de una secuencia de términos

\to

Mapea a/ Maps to

Indica que una función va de un conjunto a otro

\det

Determinante/ Determinant

El determinante de una matriz

\subset

Subconjunto/ Subset

Un conjunto está contenido en otro

\forall

Para todo/ For all

Se cumple para cada elemento

\lambda

Lambda (autovalor)/ Lambda (eigenvalue)

Comúnmente usado para autovalores

Paso 1 de 4

Intuición

Ya sabemos qué es un vector. Ahora: ¿qué podemos hacer con ellos? Las dos operaciones fundamentales son la suma y la multiplicación por escalar. Todo lo demás en álgebra lineal se construye sobre ellas.

Sumar vectores es combinar desplazamientos: si caminas 3 metros al este y luego 2 al norte, terminas en la "suma" de esos vectores. Lo clave: el orden no importa.

Pero primero: ¿qué es un escalar? Un escalar es simplemente un número real ordinario — como 2, -0.5, o π. Se llama "escalar" porque lo que hace es escalar (agrandar o achicar) vectores.

Multiplicar por un escalar es estirar o comprimir. Multiplicar por 2 duplica la longitud. Por 0.5, la reduce a la mitad. Por -1, invierte la dirección. Son como un "zoom" sobre el vector.

Piensa en esto

Si sumamos un vector consigo mismo, v + v, ¿es lo mismo que 2v? ¿Por qué?

Piensa componente a componente.

Sí. v + v = (v₁ + v₁, v₂ + v₂) = (2v₁, 2v₂) = 2v. La suma repetida es lo mismo que escalar.

Paso 2 de 4

Visualización

En la visualización, experimenta con la suma de vectores. Observa cómo:

La suma es conmutativa: v + w = w + v (el paralelogramo es el mismo)
Si ambos vectores apuntan en la misma dirección, la suma es más larga
Si apuntan en direcciones opuestas, se cancelan parcialmente
La suma es el "efecto combinado" de ambos desplazamientos

Regla del paralelogramo

Para sumar dos vectores geométricamente: coloca la cola del segundo en la punta del primero. La suma es la diagonal del paralelogramo que forman. Las flechas semitransparentes lo muestran.

Desafíos: La visualización incluye desafíos interactivos al final del panel. Intentá resolverlos ajustando los sliders — te dan feedback inmediato cuando lo lográs.

Piensa en esto

¿Puedes encontrar dos vectores no nulos cuya suma sea el vector cero?

Si v + w = 0, entonces w = ?

w debe ser -v, es decir, el mismo vector pero apuntando en dirección opuesta. Por ejemplo, v = (3, 2) y w = (-3, -2).

Cargando...

Paso 3 de 4

Formal

Suma de vectores

\mathbf{v} + \mathbf{w} = \begin{pmatrix} v_1 + w_1 \\ v_2 + w_2 \end{pmatrix}

Multiplicación por escalar

Un escalar es un número real, es decir, cualquier c ∈ ℝ. Se llama "escalar" porque lo que hace es escalar (estirar o comprimir) un vector:

c \cdot \mathbf{v} = c \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c \cdot v_1 \\ c \cdot v_2 \end{pmatrix}

Ejemplo: 3 · (2, -1) = (6, -3) — cada componente se multiplica por 3.

Ejemplo: -1 · (4, 2) = (-4, -2) — invierte la dirección del vector.

Ejemplo: 0 · (7, 3) = (0, 0) — multiplicar por 0 siempre da el vector cero.

Propiedades

Sea u, v, w ∈ ℝⁿ y c, d ∈ ℝ:

\mathbf{v} + \mathbf{w} = \mathbf{w} + \mathbf{v}

Conmutatividad

(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})

Asociatividad

\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}

Elemento neutro

c(\mathbf{v} + \mathbf{w}) = c\mathbf{v} + c\mathbf{w}

Distributividad (escalar sobre suma)

(c + d)\mathbf{v} = c\mathbf{v} + d\mathbf{v}

Distributividad (suma de escalares)

(cd)\mathbf{v} = c(d\mathbf{v})

Compatibilidad de escalares

Ejemplo: distributividad

2 \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \right)

Empezamos con la expresión

Paso 4 de 4

Ejercicios

Calcula (3, -1) + (-2, 5):

(

)

No es correcto. Intenta de nuevo.

Calcula -3 · (2, -1, 4):

(

)

No es correcto. Intenta de nuevo.

¿Cuál propiedad dice que v + w = w + v?

No es correcto. Intenta de nuevo.

Calcula la suma de tres vectores: (1, 2) + (3, -1) + (-2, 4):

(

)

No es correcto. Intenta de nuevo.

Si v + w = (5, 3) y v = (2, 1), ¿cuánto vale w?

(

)

No es correcto. Intenta de nuevo.

¿Cuánto vale (c + d) · v si c = 2, d = 3, y v = (1, -1)?

No es correcto. Intenta de nuevo.

Cargando...

Capítulo 1·Lección 2

Suma de vectores y escalares

Vector addition and scalars

Notación

\in

Pertenece/ Element of

Indica que un elemento pertenece a un conjunto

\mathbb{R}

Números reales/ Real numbers

El conjunto de todos los números reales

\mathbb{R}^n

Espacio n-dimensional/ n-dimensional space

El conjunto de todos los vectores de n componentes reales

\sum

Sumatoria/ Summation

Suma de una secuencia de términos

\to

Mapea a/ Maps to

Indica que una función va de un conjunto a otro

\det

Determinante/ Determinant

El determinante de una matriz

\subset

Subconjunto/ Subset

Un conjunto está contenido en otro

\forall

Para todo/ For all

Se cumple para cada elemento

\lambda

Lambda (autovalor)/ Lambda (eigenvalue)

Comúnmente usado para autovalores

Paso 1 de 4

Intuición

Sumar vectores es combinar desplazamientos: si caminas 3 metros al este y luego 2 al norte, terminas en la "suma" de esos vectores. Lo clave: el orden no importa.

Pero primero: ¿qué es un escalar? Un escalar es simplemente un número real ordinario — como 2, -0.5, o π. Se llama "escalar" porque lo que hace es escalar (agrandar o achicar) vectores.

Multiplicar por un escalar es estirar o comprimir. Multiplicar por 2 duplica la longitud. Por 0.5, la reduce a la mitad. Por -1, invierte la dirección. Son como un "zoom" sobre el vector.

Piensa en esto

Si sumamos un vector consigo mismo, v + v, ¿es lo mismo que 2v? ¿Por qué?

Piensa componente a componente.

Sí. v + v = (v₁ + v₁, v₂ + v₂) = (2v₁, 2v₂) = 2v. La suma repetida es lo mismo que escalar.

Paso 2 de 4

Visualización

En la visualización, experimenta con la suma de vectores. Observa cómo:

La suma es conmutativa: v + w = w + v (el paralelogramo es el mismo)
Si ambos vectores apuntan en la misma dirección, la suma es más larga
Si apuntan en direcciones opuestas, se cancelan parcialmente
La suma es el "efecto combinado" de ambos desplazamientos

Regla del paralelogramo

Para sumar dos vectores geométricamente: coloca la cola del segundo en la punta del primero. La suma es la diagonal del paralelogramo que forman. Las flechas semitransparentes lo muestran.

Desafíos: La visualización incluye desafíos interactivos al final del panel. Intentá resolverlos ajustando los sliders — te dan feedback inmediato cuando lo lográs.

Piensa en esto

¿Puedes encontrar dos vectores no nulos cuya suma sea el vector cero?

Si v + w = 0, entonces w = ?

w debe ser -v, es decir, el mismo vector pero apuntando en dirección opuesta. Por ejemplo, v = (3, 2) y w = (-3, -2).

Cargando...

Paso 3 de 4

Formal

Suma de vectores

\mathbf{v} + \mathbf{w} = \begin{pmatrix} v_1 + w_1 \\ v_2 + w_2 \end{pmatrix}

Multiplicación por escalar

Un escalar es un número real, es decir, cualquier c ∈ ℝ. Se llama "escalar" porque lo que hace es escalar (estirar o comprimir) un vector:

c \cdot \mathbf{v} = c \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c \cdot v_1 \\ c \cdot v_2 \end{pmatrix}

Ejemplo: 3 · (2, -1) = (6, -3) — cada componente se multiplica por 3.

Ejemplo: -1 · (4, 2) = (-4, -2) — invierte la dirección del vector.

Ejemplo: 0 · (7, 3) = (0, 0) — multiplicar por 0 siempre da el vector cero.

Propiedades

Sea u, v, w ∈ ℝⁿ y c, d ∈ ℝ:

\mathbf{v} + \mathbf{w} = \mathbf{w} + \mathbf{v}

Conmutatividad

(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})

Asociatividad

\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}

Elemento neutro

c(\mathbf{v} + \mathbf{w}) = c\mathbf{v} + c\mathbf{w}

Distributividad (escalar sobre suma)

(c + d)\mathbf{v} = c\mathbf{v} + d\mathbf{v}

Distributividad (suma de escalares)

(cd)\mathbf{v} = c(d\mathbf{v})

Compatibilidad de escalares

Ejemplo: distributividad

2 \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \right)

Empezamos con la expresión

Paso 4 de 4

Ejercicios

Calcula (3, -1) + (-2, 5):

(

)

No es correcto. Intenta de nuevo.

Calcula -3 · (2, -1, 4):

(

)

No es correcto. Intenta de nuevo.

¿Cuál propiedad dice que v + w = w + v?

No es correcto. Intenta de nuevo.

Calcula la suma de tres vectores: (1, 2) + (3, -1) + (-2, 4):

(

)

No es correcto. Intenta de nuevo.

Si v + w = (5, 3) y v = (2, 1), ¿cuánto vale w?

(

)

No es correcto. Intenta de nuevo.

¿Cuánto vale (c + d) · v si c = 2, d = 3, y v = (1, -1)?

No es correcto. Intenta de nuevo.