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What is a vector?
¿Qué es un Vector? La respuesta depende de a quién le preguntes.
Para un físico, un vector es una flecha con magnitud y dirección. Piensa en la velocidad del viento: no basta con decir "30 km/h", necesitas saber hacia dónde sopla.
Para un programador, un vector es una lista ordenada de números. En Python, sería algo como v = [3, 2]. Dos números que representan algo: una posición, una dirección, un color.
Para un matemático, un vector es cualquier cosa que puedas sumar y escalar, y que esas operaciones se comporten "bien". Esta definición abstracta es la más poderosa — incluye flechas, listas de números, funciones, polinomios, y mucho más.
Piensa en esto
¿Qué tienen en común la velocidad del viento, un pixel RGB, y la lista de precios de productos en un supermercado?
Todos se pueden representar como una lista de números. ¿Qué operaciones podrías hacer con ellos?
Todos son vectores: la velocidad es (vx, vy), un pixel es (R, G, B), y los precios son (p1, p2, ..., pn). Puedes sumarlos y multiplicarlos por un escalar, y esas operaciones tienen sentido.
En este curso, vamos a empezar con la intuición visual — flechas en el plano — y gradualmente generalizaremos. Pero siempre mantendremos la geometría como ancla.
Un vector en 2D es una flecha que va del origen a un punto. El vector (3, 2) significa: 3 unidades a la derecha, 2 hacia arriba.
Usa los sliders para cambiar las componentes del vector v. Observa cómo la flecha cambia de longitud y dirección.
(0, 0) es el vector cero — un punto sin direcciónPiensa en esto
¿Cuántos números necesitas para describir una posición en una habitación? ¿Y en el plano de un mapa?
En el mapa, necesitas latitud y longitud (2 números). ¿Y en una habitación?
En el plano (mapa): 2 números → vector en ℝ². En una habitación (3D): 3 números (largo, ancho, alto) → vector en ℝ³. La cantidad de componentes es la dimensión del espacio.
Se lee: 'los números reales' o 'R'
El conjunto de todos los números reales: enteros, fracciones, irracionales como π, etc. Básicamente cualquier punto en la recta numérica.
# En código, es simplemente un float x: float = 3.14 # x ∈ ℝ
π, √2, y -7 son todos números reales.
Se lee: 'R-n' o 'el espacio n-dimensional'
El conjunto de todas las listas ordenadas de n números reales. ℝ² es el plano, ℝ³ es el espacio tridimensional.
# ℝ² = vectores de 2 componentes v = [3.0, 2.0] # v ∈ ℝ² # ℝ³ = vectores de 3 componentes w = [1.0, 0.0, -2.5] # w ∈ ℝ³
(3, 2) es un vector en el plano. (1, 0, -2.5) es un vector en el espacio 3D.
Se lee: 'pertenece a' o 'es un elemento de'
Indica que algo es miembro de un conjunto. 'x ∈ ℝ' significa 'x es un número real'.
# Python equivalente x in reales # x ∈ ℝ v in R2 # v ∈ ℝ²
3 pertenece a los enteros. El vector (1, 2) pertenece al plano.
Definición. Un Vector en ℝⁿ es una n-tupla ordenada de números reales:
La notación puede intimidar, pero solo dice cosas simples. Veamos ejemplos concretos:
Ejemplo 1: El vector (3, 2) vive en ℝ² porque tiene 2 componentes, y ambas son números reales. Escribimos: (3, 2) ∈ ℝ².
Ejemplo 2: El vector (1, 0, -2.5) vive en ℝ³ porque tiene 3 componentes. Escribimos: (1, 0, -2.5) ∈ ℝ³.
No-ejemplo: ¿(3, 2) está en ℝ³? No — tiene 2 componentes, no 3. El superíndice en ℝⁿ te dice cuántas componentes necesitás.
En ℝ², la primera componente (v₁) es el desplazamiento horizontal y la segunda (v₂) el vertical. Por ejemplo, (3, 2) significa: 3 unidades a la derecha, 2 hacia arriba. Y (-1, 4) significa: 1 unidad a la izquierda, 4 hacia arriba.
Dos vectores son iguales si y solo si todas sus componentes coinciden. No basta con que uno "parezca" apuntar en la misma dirección — cada número tiene que ser idéntico:
Esto significa que (3, 2) y (2, 3) son vectores distintos — el orden importa.
En cada espacio ℝⁿ existe un vector especial, el vector cero, con todas sus componentes iguales a cero:
Geométricamente, el vector cero es un "punto" en el origen — no tiene longitud ni dirección. Es como el número 0 para la suma: sumar el vector cero no cambia nada.
Piensa en esto
¿(1, 2, 3) y (1, 2, 3, 0) son el mismo vector?
Contá las componentes de cada uno.
No. El primero está en ℝ³ (3 componentes) y el segundo en ℝ⁴ (4 componentes). Viven en espacios distintos, así que no se pueden ni comparar.
¿Cuál de estos NO es un vector válido en ℝ³?
Un pixel RGB como (255, 128, 0) es un vector en...
Si v = (3, 2) y w = (3, 2), ¿son iguales?
¿(2, 3) y (3, 2) son el mismo vector?
Un sensor mide temperatura = 25, humedad = 60, y presión = 1013. Si lo representamos como vector (T, H, P), ¿cuál es el vector?
¿Qué pasa geométricamente cuando multiplicamos un vector por -1?