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The language of geometry
Antes de empezar con álgebra lineal, necesitamos hablar el mismo idioma geométrico. Esta lección define las palabras y conceptos básicos que vamos a usar en todo el curso.
Pensá en un mapa: para usarlo necesitás saber qué es "norte", qué significan las coordenadas, y qué es la distancia entre dos puntos. Acá vamos a hacer lo mismo pero en el mundo de las matemáticas.
Un plano cartesiano es una hoja infinita con dos ejes perpendiculares: el eje x (horizontal) y el eje y (vertical). Cada punto se identifica con un par de números (x, y). El punto (0, 0) se llama el origen.
En 3D, agregamos un tercer eje z (que sale "hacia vos" desde la pantalla). Cada punto se identifica con (x, y, z). Por ejemplo, (2, 3, 1) está 2 a la derecha, 3 arriba y 1 "hacia vos".
La distancia entre dos puntos es la longitud de la línea recta que los conecta. Si tenés el punto A = (x₁, y₁) y B = (x₂, y₂), la distancia es:
Cuando medimos la distancia desde el origen hasta un punto, la llamamos magnitud o norma. Si el punto es (x, y), su magnitud es simplemente:
Es el teorema de Pitágoras: la hipotenusa del triángulo rectángulo con catetos x e y.
Piensa en esto
¿Cuál es la magnitud del punto (3, 4)? ¿Te suena ese resultado?
Calculá √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25.
La magnitud es 5. Es el triángulo pitagórico más famoso: 3-4-5.
Un punto (3, 4) tiene magnitud 5. Si lo dividimos por su magnitud, obtenemos (3/5, 4/5) = (0.6, 0.8), que tiene magnitud 1. Este se llama vector unitario: indica la dirección sin importar la longitud.
Vector unitario:
Siempre tiene magnitud 1. "Normalizar" un vector = convertirlo en unitario.
La visualización muestra dos vectores en el plano. Usá los sliders para explorar los conceptos geométricos básicos.
Piensa en esto
¿Cuándo el paralelogramo tiene área cero?
Probá mover los vectores hasta que apunten en la misma dirección (o sentidos opuestos).
Cuando los vectores son paralelos (están sobre la misma línea). El 'paralelogramo' se aplasta a una línea, sin área. Esto es fundamental: área 0 = vectores dependientes.
Piensa en esto
¿Cuándo el paralelogramo tiene la mayor área posible (para vectores de la misma longitud)?
Probá diferentes ángulos. ¿A 30°? ¿A 60°? ¿A 90°?
Cuando son perpendiculares (90°). A 90° los vectores 'abren' el máximo espacio posible.
Se lee: 'la norma de v' o 'la magnitud de v'
La longitud del vector v, medida desde el origen hasta el punto.
# En Python import math v = [3, 4] norm = math.sqrt(v[0]**2 + v[1]**2) # = 5.0
Funciona en cualquier dimensión: 2D, 3D, o más.
Se lee: 'x pertenece a ℝ' o 'x es un número real'. El símbolo ∈ significa 'pertenece a' o 'está en'. ℝ es el conjunto de todos los números reales.
Cuando escribimos c ∈ ℝ, decimos que c es cualquier número real (positivo, negativo, cero, fraccionario, irracional...). ℝ² significa 'pares de números reales' (el plano), ℝ³ 'tripletas' (espacio 3D).
# En programación, ℝ ≈ float (con precisión limitada) c: float # c ∈ ℝ v: list[float] # v ∈ ℝⁿ # ∈ es como "in" en Python: if x in conjunto: # x ∈ conjunto
3.14 es un número real. -7 también. El punto (2, 5) pertenece al plano ℝ².
Paralelo (parallel)
Dos vectores son paralelos cuando apuntan en la misma dirección o en la dirección opuesta. Formalmente: v y w son paralelos si existe un número c tal que w = c · v.
Si c > 0, apuntan en el mismo sentido. Si c < 0, en sentidos opuestos. También se dice que son colineales (están sobre la misma línea).
Perpendicular / Ortogonal (perpendicular / orthogonal)
Dos vectores son perpendiculares (o ortogonales) cuando forman un ángulo de 90°. Formalmente: su producto punto es cero.
"Perpendicular" y "ortogonal" significan lo mismo. En la vida cotidiana pensá en las esquinas de un cuadrado o las paredes de una habitación.
Paralelogramo (parallelogram)
Dados dos vectores v y w desde el origen, forman un paralelogramo: un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos. Los vértices son: el origen (0,0), la punta de v, la punta de w, y la punta de v + w.
El área de este paralelogramo es |det(v, w)| — el valor absoluto del determinante de la matriz formada por v y w como columnas. Esto lo veremos en detalle en el capítulo 4.
Todo lo anterior funciona igual en 3D. La única diferencia es que agregamos una coordenada z:
Piensa en esto
El vector (1, 0, 0) y el vector (0, 1, 0), ¿son perpendiculares? ¿Y (1, 0, 0) con (0, 0, 1)?
Calculá el producto punto de cada par.
Sí, ambos pares son perpendiculares: (1,0,0)·(0,1,0) = 0 y (1,0,0)·(0,0,1) = 0. Los ejes x, y, z son mutuamente perpendiculares — por eso los elegimos como ejes.
Calculá la norma del vector (3, 4). Escribí el resultado como (valor, 0) — solo un número:
¿Cuáles de estos pares de vectores son paralelos?
¿Cuáles de estos pares de vectores son perpendiculares?
Normalizá el vector (3, 4) — dividí cada componente por la norma. Escribí el resultado (x, y):
Un paralelogramo formado por vectores paralelos tiene área...
¿Cuál es el ángulo (en grados) entre (1, 0) y (0, 1)? Escribí un solo número: