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Applications of eigenvalues
¿Para qué sirven los autovalores en la vida real? Resulta que aparecen en todas partes: desde Google hasta la física cuántica. En esta lección vemos tres aplicaciones concretas.
Si tenés un estado que evoluciona en el tiempo como xₙ₊₁ = Axₙ, el comportamiento a largo plazo depende de los autovalores:
El autovalor más grande (en valor absoluto) domina a largo plazo. Por eso se llama el autovalor dominante.
Una cadena de Markov modela transiciones entre estados. Si hoy llueve, mañana hay 70% de probabilidad de sol y 30% de seguir lloviendo. La matriz de transición tiene autovalor λ = 1 cuyo autovector da el estado estacionario: las probabilidades a largo plazo.
Google ordena las páginas web usando el autovector dominante de una enorme matriz de "links". Cada página reparte su "importancia" entre las páginas a las que apunta. El autovector de λ = 1 da el ranking final: la importancia relativa de cada página.
Piensa en esto
¿Por qué PageRank funciona? ¿Qué tiene de especial el autovector de λ = 1?
Si xₙ₊₁ = Axₙ y λ = 1, ¿qué pasa con Av₁?
Av₁ = 1·v₁ = v₁. El autovector de λ=1 no cambia al aplicar A — es el estado estable. Después de muchas iteraciones, el sistema converge a este vector sin importar dónde empezó.
Veamos cómo los autovalores determinan el comportamiento de un sistema dinámico xₙ₊₁ = Axₙ iterando desde un punto inicial.
Piensa en esto
Si A = \\begin{bmatrix} 2 & 0 \\\\ 0 & 0.5 \\end{bmatrix}, ¿qué pasa con x₀ = (1, 1) después de muchas iteraciones?
Descomponé x₀ en autovectores. ¿Cuál crece? ¿Cuál decae?
Los autovectores son (1,0) y (0,1) con λ₁=2 y λ₂=0.5. Después de n pasos: xₙ = (2ⁿ, 0.5ⁿ). La componente x crece exponencialmente, la y decae a cero. El sistema 'elige' la dirección del autovalor dominante.
Problema: dado xₙ₊₁ = Axₙ con x₀ conocido, ¿cuánto es xₙ?
Solución con diagonalización:
Cada componente evoluciona como λᵢⁿ multiplicado por su coeficiente inicial en la base de autovectores.
Si x₀ = c₁v₁ + c₂v₂ + ... + cₙvₙ (descomposición en autovectores), entonces:
Cada término crece o decae según su autovalor. A largo plazo, el término con |λ| más grande domina.
Una matriz estocástica tiene columnas que suman 1 (representan probabilidades de transición).
Piensa en esto
¿Por qué una matriz estocástica siempre tiene λ = 1?
Las columnas suman 1. ¿Qué pasa si multiplicás Aᵀ por el vector (1, 1, ..., 1)?
Aᵀ(1,...,1)ᵀ = (1,...,1)ᵀ porque cada fila de Aᵀ (columna de A) suma 1. Entonces (1,...,1) es autovector de Aᵀ con λ=1. Y A y Aᵀ tienen los mismos autovalores.
Si el autovalor dominante de A es λ = 0.9, ¿qué pasa con Aⁿx₀ cuando n → ∞?
En una cadena de Markov, ¿qué autovalor da el estado estacionario?
A = \\begin{bmatrix} 2 & 0 \\\\ 0 & 3 \\end{bmatrix}, x₀ = (1, 1). ¿Cuánto es x₂ = A²x₀? Escribí (x₁, x₂):
¿Qué aplicación famosa usa el autovector dominante de una matriz enorme?
Matriz estocástica A = \\begin{bmatrix} 0.5 & 0.3 \\\\ 0.5 & 0.7 \\end{bmatrix}. Para encontrar el estado estacionario, resolvé (A-I)v = 0. El autovector normalizado (que suma 1) es: